直線 $y = 2x - 1$ が円 $x^2 + y^2 = 3$ によって切り取られる線分の長さと、線分の中点の座標を求める。

1. 問題の内容

直線 $y = 2x - 1$ が円 $x^2 + y^2 = 3$ によって切り取られる線分の長さと、線分の中点の座標を求める。

2. 解き方の手順

まず、直線と円の交点を求めます。直線の式 $y = 2x - 1$ を円の式 $x^2 + y^2 = 3$ に代入します。

$x^2 + (2x - 1)^2 = 3$

$x^2 + 4x^2 - 4x + 1 = 3$

$5x^2 - 4x - 2 = 0$

この二次方程式を解の公式を用いて解きます。

$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(5)(-2)}}{2(5)}$

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 40}}{10}$

$x = \frac{4 \pm \sqrt{56}}{10}$

$x = \frac{4 \pm 2\sqrt{14}}{10}$

$x = \frac{2 \pm \sqrt{14}}{5}$

交点の$x$座標は、$x_1 = \frac{2 + \sqrt{14}}{5}$ と $x_2 = \frac{2 - \sqrt{14}}{5}$ です。

それぞれの$x$座標に対応する$y$座標を求めます。 $y = 2x - 1$ を用います。

$y_1 = 2(\frac{2 + \sqrt{14}}{5}) - 1 = \frac{4 + 2\sqrt{14}}{5} - \frac{5}{5} = \frac{-1 + 2\sqrt{14}}{5}$

$y_2 = 2(\frac{2 - \sqrt{14}}{5}) - 1 = \frac{4 - 2\sqrt{14}}{5} - \frac{5}{5} = \frac{-1 - 2\sqrt{14}}{5}$

交点の座標は $(\frac{2 + \sqrt{14}}{5}, \frac{-1 + 2\sqrt{14}}{5})$ と $(\frac{2 - \sqrt{14}}{5}, \frac{-1 - 2\sqrt{14}}{5})$ です。

線分の中点の座標は、交点の座標の平均を取ることで求まります。

中点の$x$座標 = $\frac{(\frac{2 + \sqrt{14}}{5}) + (\frac{2 - \sqrt{14}}{5})}{2} = \frac{\frac{4}{5}}{2} = \frac{2}{5}$

中点の$y$座標 = $\frac{(\frac{-1 + 2\sqrt{14}}{5}) + (\frac{-1 - 2\sqrt{14}}{5})}{2} = \frac{\frac{-2}{5}}{2} = -\frac{1}{5}$

したがって、中点の座標は $(\frac{2}{5}, -\frac{1}{5})$ です。

線分の長さを求めます。二点間の距離の公式を用います。

線分の長さ = $\sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2}$

= $\sqrt{(\frac{2 + \sqrt{14}}{5} - \frac{2 - \sqrt{14}}{5})^2 + (\frac{-1 + 2\sqrt{14}}{5} - \frac{-1 - 2\sqrt{14}}{5})^2}$

= $\sqrt{(\frac{2\sqrt{14}}{5})^2 + (\frac{4\sqrt{14}}{5})^2}$

= $\sqrt{\frac{4 \cdot 14}{25} + \frac{16 \cdot 14}{25}}$

= $\sqrt{\frac{20 \cdot 14}{25}}$

= $\sqrt{\frac{280}{25}}$

= $\sqrt{\frac{56}{5}}$

= $\frac{2\sqrt{14}}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{70}}{5}$

3. 最終的な答え

線分の長さ：$\frac{2\sqrt{70}}{5}$

線分の中点の座標：$(\frac{2}{5}, -\frac{1}{5})$