xy平面上の2つの円 $x^2 + y^2 = 1$ と $x^2 + y^2 - 2ax - 6y + a^2 - 7 = 0$ が異なる2点A, Bを共有するような正の定数aの条件を求め、そのときの線分ABの長さが最大となるaの値を求める問題です。

1. 問題の内容

xy平面上の2つの円 $x^2 + y^2 = 1$ と $x^2 + y^2 - 2ax - 6y + a^2 - 7 = 0$ が異なる2点A, Bを共有するような正の定数aの条件を求め、そのときの線分ABの長さが最大となるaの値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、2つの円の方程式を変形します。

円1：$x^2 + y^2 = 1$

円2：$(x - a)^2 + (y - 3)^2 = 16 - a^2$

2つの円が異なる2点で交わる条件は、2つの円の中心間の距離が、2つの円の半径の和と差の間にあることです。

円1の中心は(0, 0)で半径は1、円2の中心は(a, 3)で半径は$\sqrt{16 - a^2}$ です。

中心間の距離dは、$d = \sqrt{(a - 0)^2 + (3 - 0)^2} = \sqrt{a^2 + 9}$ です。

したがって、

$|1 - \sqrt{16 - a^2}| < \sqrt{a^2 + 9} < 1 + \sqrt{16 - a^2}$

かつ $16 - a^2 > 0$ が必要です。つまり $a < 4$ です。

まず、$\sqrt{a^2 + 9} < 1 + \sqrt{16 - a^2}$ を解きます。

$\sqrt{a^2 + 9} - 1 < \sqrt{16 - a^2}$

両辺を2乗して、$a^2 + 9 - 2\sqrt{a^2 + 9} + 1 < 16 - a^2$

$2a^2 - 6 < 2\sqrt{a^2 + 9}$

$a^2 - 3 < \sqrt{a^2 + 9}$

両辺を2乗して、$a^4 - 6a^2 + 9 < a^2 + 9$

$a^4 - 7a^2 < 0$

$a^2(a^2 - 7) < 0$

$0 < a^2 < 7$

$0 < a < \sqrt{7}$

次に、$|1 - \sqrt{16 - a^2}| < \sqrt{a^2 + 9}$ を解きます。

$\sqrt{16 - a^2} - 1 < \sqrt{a^2 + 9}$ または $1 - \sqrt{16 - a^2} < \sqrt{a^2 + 9}$

$1 - \sqrt{16 - a^2} < \sqrt{a^2 + 9}$ は$\sqrt{a^2+9}+\sqrt{16-a^2}>1$ となりますが、これは常に成り立ちます。

$\sqrt{16 - a^2} - 1 < \sqrt{a^2 + 9}$ と同値であることは既に示されています。

したがって、$0 < a < \sqrt{7}$ が条件となります。

線分ABの長さを求めるには、2つの円の交点を通る直線の方程式を考えます。

$(x^2 + y^2 - 1) - (x^2 + y^2 - 2ax - 6y + a^2 - 7) = 0$

$2ax + 6y - a^2 + 6 = 0$

$y = -\frac{a}{3}x + \frac{a^2 - 6}{6}$

この直線と円 $x^2 + y^2 = 1$ の交点がA, Bなので、弦ABの長さが最大となるのは、この直線が円の中心(0, 0)を通るときです。

つまり、$\frac{a^2 - 6}{6} = 0$

$a^2 = 6$

$a = \sqrt{6}$

$0 < a < \sqrt{7}$を満たしています。

3. 最終的な答え

$\boxed{0} < a < \boxed{\sqrt{7}}$

$a = \boxed{\sqrt{6}}$