2つの直線 $y = -3\sqrt{3}x$ と $y = \frac{\sqrt{3}}{2}x$ のなす角 $\theta$ ($0 < \theta < \frac{\pi}{2}$) を求める。

1. 問題の内容

2つの直線 $y = -3\sqrt{3}x$ と $y = \frac{\sqrt{3}}{2}x$ のなす角 $\theta$ ($0 < \theta < \frac{\pi}{2}$) を求める。

2. 解き方の手順

直線の傾きと角度の関係を利用する。

直線 $y = mx$ の傾き $m$ と $x$軸の正の方向となす角 $\alpha$ の関係は、

$m = \tan{\alpha}$ で表される。

まず、それぞれの直線の傾きを求める。

$m_1 = -3\sqrt{3}$

$m_2 = \frac{\sqrt{3}}{2}$

それぞれの直線の $x$軸の正の方向となす角を $\alpha_1$, $\alpha_2$ とすると、

$\tan{\alpha_1} = -3\sqrt{3}$

$\tan{\alpha_2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\alpha_1 = \arctan(-3\sqrt{3})$

$\alpha_2 = \arctan(\frac{\sqrt{3}}{2})$

$\theta = |\alpha_2 - \alpha_1|$ で表される。ただし、今回は $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ なので、

$\tan{\theta} = \left| \frac{\tan{\alpha_2} - \tan{\alpha_1}}{1 + \tan{\alpha_1} \tan{\alpha_2}} \right|$

$\tan{\theta} = \left| \frac{\frac{\sqrt{3}}{2} - (-3\sqrt{3})}{1 + (\frac{\sqrt{3}}{2})(-3\sqrt{3})} \right|$

$\tan{\theta} = \left| \frac{\frac{\sqrt{3}}{2} + 3\sqrt{3}}{1 - \frac{9}{2}} \right|$

$\tan{\theta} = \left| \frac{\frac{7\sqrt{3}}{2}}{-\frac{7}{2}} \right|$

$\tan{\theta} = \left| -\sqrt{3} \right| = \sqrt{3}$

$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ であるから、

$\theta = \arctan(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$

3. 最終的な答え

$\theta = \frac{\pi}{3}$