平行四辺形ABCDにおいて、三角形ABCの内部に点P、三角形ADCの内部に点Qがある。 $\vec{AP}+3\vec{BP}+2\vec{CP}=\vec{0}$、 $3\vec{AQ}+4\vec{DQ}+2\vec{CQ}=\vec{0}$ が成り立つとき、以下の問題を解く。 (1) 3つの三角形 PAB, PBC, PCAの面積比を求めよ。 (2) 平行四辺形ABCDと四角形APCQ の面積比を求めよ。

1. 問題の内容

平行四辺形ABCDにおいて、三角形ABCの内部に点P、三角形ADCの内部に点Qがある。

$\vec{AP}+3\vec{BP}+2\vec{CP}=\vec{0}$、 $3\vec{AQ}+4\vec{DQ}+2\vec{CQ}=\vec{0}$ が成り立つとき、以下の問題を解く。

(1) 3つの三角形 PAB, PBC, PCAの面積比を求めよ。

(2) 平行四辺形ABCDと四角形APCQ の面積比を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\vec{AP}+3\vec{BP}+2\vec{CP}=\vec{0}$ より、$\vec{AP}+3(\vec{AP}-\vec{AB})+2(\vec{AP}-\vec{AC})=\vec{0}$

$6\vec{AP}=3\vec{AB}+2\vec{AC}$

$\vec{AP}=\frac{1}{2}\vec{AB}+\frac{1}{3}\vec{AC}$

したがって、$\triangle PAB:\triangle PBC:\triangle PCA = \frac{1}{3}:\frac{1}{6}:\frac{1}{2} = 2:1:3$

(2) $3\vec{AQ}+4\vec{DQ}+2\vec{CQ}=\vec{0}$ より、$3\vec{AQ}+4(\vec{AQ}-\vec{AD})+2(\vec{AQ}-\vec{AC})=\vec{0}$

$9\vec{AQ}=4\vec{AD}+2\vec{AC}$

$\vec{AQ}=\frac{4}{9}\vec{AD}+\frac{2}{9}\vec{AC}$

$\triangle ABC$ の面積をSとすると、$\triangle ABD$の面積もSである。

$\triangle PAB:\triangle PBC:\triangle PCA = 2:1:3$ なので、$\triangle PAB = \frac{2}{6} S = \frac{1}{3}S$, $\triangle PBC = \frac{1}{6} S$, $\triangle PCA = \frac{3}{6} S = \frac{1}{2}S$

$\triangle ADC$ の面積をSとすると、 $\triangle AQC = \frac{4}{9}S$, $\triangle ADC$

したがって、四角形 APCQ の面積は $\frac{1}{2}S + \frac{4}{9}S = \frac{9}{18}S + \frac{8}{18}S = \frac{17}{18}S$

平行四辺形ABCDの面積は2Sなので、平行四辺形ABCDと四角形APCQ の面積比は $2S : \frac{17}{18}S = 36:17$

3. 最終的な答え

(1) $\triangle PAB:\triangle PBC:\triangle PCA = 2:1:3$

(2) 平行四辺形ABCDと四角形APCQ の面積比は $36:17$