空間内に2点 $A(-6, 5, 0)$、$B(2, -7, 4)$ と直線 $l: \frac{x-1}{2} = \frac{y+1}{2} = z+3$ が与えられている。 (1) 2点A, Bを通る直線mの方程式を求める。 (2) 2直線l, mの位置関係を(ねじれの位置、交わる、平行で一致しない、一致する)の中から答える。理由も記述する。 (3) 直線l上を点Pが動くとき、$AP = BP$ となる点Pの座標を求める。

1. 問題の内容

空間内に2点 $A(-6, 5, 0)$、$B(2, -7, 4)$ と直線 $l: \frac{x-1}{2} = \frac{y+1}{2} = z+3$ が与えられている。

(1) 2点A, Bを通る直線mの方程式を求める。

(2) 2直線l, mの位置関係を(ねじれの位置、交わる、平行で一致しない、一致する)の中から答える。理由も記述する。

(3) 直線l上を点Pが動くとき、$AP = BP$ となる点Pの座標を求める。

2. 解き方の手順

(1) 直線mの方程式を求める。

ベクトル $\vec{AB}$ を求める。

$\vec{AB} = (2 - (-6), -7 - 5, 4 - 0) = (8, -12, 4)$

$\vec{AB}$ に平行なベクトルとして $(2, -3, 1)$ が使える。

直線mの方程式は、点Aを通りベクトル$(2, -3, 1)$ に平行なので、

$\frac{x + 6}{2} = \frac{y - 5}{-3} = \frac{z - 0}{1}$

よって、

$\frac{x + 6}{2} = \frac{y - 5}{-3} = z$

(2) 直線lの方程式は、

$\frac{x-1}{2} = \frac{y+1}{2} = z+3$

直線lの方向ベクトルは$(2, 2, 1)$ である。

直線mの方向ベクトルは$(2, -3, 1)$ である。

二つのベクトルは平行ではないので、直線lと直線mは平行ではない。

直線l上の点を $P(2t+1, 2t-1, t-3)$ とする。

直線m上の点を $Q(2s-6, -3s+5, s)$ とする。

$\vec{PQ} = (2s - 2t - 7, -3s - 2t + 6, s - t + 3)$

これが0となるとき、

$2s - 2t - 7 = 0$

$-3s - 2t + 6 = 0$

$s - t + 3 = 0$

３つ目の式から $t = s + 3$

これを最初の２つの式に代入して

$2s - 2(s+3) - 7 = 0 \Rightarrow -6 - 7 = 0$ (矛盾)

$-3s - 2(s+3) + 6 = 0 \Rightarrow -5s = 0 \Rightarrow s = 0$

$t = s+3 = 3$

これらを３つの式に代入して確認すると、

$2s - 2t - 7 = 0 - 6 - 7 = -13 \neq 0$

$-3s - 2t + 6 = 0 - 6 + 6 = 0$

$s - t + 3 = 0 - 3 + 3 = 0$

$s = 0$, $t=3$ のとき、$-3s - 2t + 6 = 0$となるが、$2s - 2t - 7 \neq 0$ となるので、2直線は交わらない。

したがって、2直線l, mはねじれの位置にある。

(3) $AP = BP$ となる点Pの座標を求める。

$P(2t+1, 2t-1, t-3)$ とする。

$AP^2 = (2t+1 - (-6))^2 + (2t-1 - 5)^2 + (t-3 - 0)^2 = (2t+7)^2 + (2t-6)^2 + (t-3)^2 = 4t^2 + 28t + 49 + 4t^2 - 24t + 36 + t^2 - 6t + 9 = 9t^2 - 2t + 94$

$BP^2 = (2t+1 - 2)^2 + (2t-1 - (-7))^2 + (t-3 - 4)^2 = (2t-1)^2 + (2t+6)^2 + (t-7)^2 = 4t^2 - 4t + 1 + 4t^2 + 24t + 36 + t^2 - 14t + 49 = 9t^2 + 6t + 86$

$AP^2 = BP^2$ より、

$9t^2 - 2t + 94 = 9t^2 + 6t + 86$

$-2t + 94 = 6t + 86$

$8t = 8$

$t = 1$

点Pの座標は、$(2(1)+1, 2(1)-1, 1-3) = (3, 1, -2)$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{x + 6}{2} = \frac{y - 5}{-3} = z$

(2) ねじれの位置 (理由は上記)

(3) (3, 1, -2)