xy平面上の2つの円 $x^2 + y^2 = 1$ と $x^2 + y^2 - 8x - 2ay + a^2 - 9 = 0$ が異なる2点A, Bを共有するような正の定数aの条件を求め、さらに線分ABの長さが最大となる時のaの値を求める問題です。

1. 問題の内容

xy平面上の2つの円 $x^2 + y^2 = 1$ と $x^2 + y^2 - 8x - 2ay + a^2 - 9 = 0$ が異なる2点A, Bを共有するような正の定数aの条件を求め、さらに線分ABの長さが最大となる時のaの値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、2つの円の方程式を整理します。

$x^2 + y^2 = 1$ ...(1)

$x^2 + y^2 - 8x - 2ay + a^2 - 9 = 0$ ...(2)

(2)を整理すると

$(x - 4)^2 + (y - a)^2 = 25 - a^2 + 9$

$(x - 4)^2 + (y - a)^2 = 34 - a^2$ ...(3)

(3)は中心が(4, a), 半径が$\sqrt{34 - a^2}$の円を表します。

2つの円が異なる2点で交わる条件は、2つの円の中心間の距離が、2つの円の半径の和よりも小さく、差よりも大きいことです。

円(1)の中心は(0, 0), 半径は1です。

円(3)の中心は(4, a), 半径は$\sqrt{34 - a^2}$です。

中心間の距離dは $d = \sqrt{(4-0)^2 + (a-0)^2} = \sqrt{16 + a^2}$です。

異なる2点で交わる条件は以下となります。

$|\sqrt{34 - a^2} - 1| < \sqrt{16 + a^2} < \sqrt{34 - a^2} + 1$

まず、$\sqrt{16 + a^2} < \sqrt{34 - a^2} + 1$ を考えます。

$\sqrt{16 + a^2} - 1 < \sqrt{34 - a^2}$

両辺を2乗すると、

$16 + a^2 - 2\sqrt{16 + a^2} + 1 < 34 - a^2$

$2a^2 - 17 < 2\sqrt{16 + a^2}$

両辺を2乗すると、

$4a^4 - 68a^2 + 289 < 4(16 + a^2)$

$4a^4 - 72a^2 + 225 < 0$

$(2a^2 - 15)^2 - 36a^2 < 0$

この不等式を解くには、

$(2a^2-15)^2 < 36a^2$

$-6a < 2a^2 - 15 < 6a$

次に、$|\sqrt{34 - a^2} - 1| < \sqrt{16 + a^2}$を考えます。

$\sqrt{34 - a^2} - 1 > -\sqrt{16 + a^2}$

$\sqrt{34 - a^2} + \sqrt{16 + a^2} > 1$ (これは常に成り立つ)

$\sqrt{34 - a^2} - 1 < \sqrt{16 + a^2}$ (上で解いた)

2つの円が交わる条件は $a < \sqrt{34}$ かつ $34 - a^2 > 0$であり、$2<a<5$くらいと予想できます。

2つの円の中心を結ぶ線分が共通弦を垂直に2等分するので、ABの長さが最大となるのは、2つの円の中心を結ぶ線分と共通弦が直交するときです。

つまり、$d = \sqrt{16+a^2}$が最小となるときなので、$a=0$です。しかし、$a$は正の定数なので、条件に合いません。

直線ABの方程式は、2つの円の方程式の差から得られます。

$(x^2 + y^2 - 8x - 2ay + a^2 - 9) - (x^2 + y^2 - 1) = 0$

$-8x - 2ay + a^2 - 8 = 0$

$8x + 2ay - a^2 + 8 = 0$

円の中心(0, 0)からこの直線までの距離が最小になるとき、線分ABが最大になります。

距離の公式より、

$d = \frac{|-a^2 + 8|}{\sqrt{64 + 4a^2}}$

$f(a) = \frac{(-a^2 + 8)^2}{64 + 4a^2} = \frac{a^4 - 16a^2 + 64}{4a^2 + 64}$

$f'(a) = \frac{(4a^3 - 32a)(4a^2 + 64) - (a^4 - 16a^2 + 64)(8a)}{(4a^2 + 64)^2} = 0$

$(4a^3 - 32a)(4a^2 + 64) - (a^4 - 16a^2 + 64)(8a) = 0$

$16a^5 + 256a^3 - 128a^3 - 2048a - 8a^5 + 128a^3 - 512a = 0$

$8a^5 + 256a^3 - 2560a = 0$

$a^4 + 32a^2 - 320 = 0$

$a^2 = \frac{-32 \pm \sqrt{32^2 - 4(-320)}}{2} = \frac{-32 \pm \sqrt{1024 + 1280}}{2} = \frac{-32 \pm \sqrt{2304}}{2} = \frac{-32 \pm 48}{2}$

$a^2 = 8$, $a = 2\sqrt{2}$

円(1)と円(3)が交点を持つ条件: $|\sqrt{34-a^2}-1|<\sqrt{16+a^2}<\sqrt{34-a^2}+1$.

$2 \sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$2 < a < \sqrt{34}$

$a = 2\sqrt{2}$