三角形OABにおいて、辺OAの中点をC、辺OBを2:1に内分する点をDとする。2直線AD、BCの交点をEとするとき、ベクトル$\overrightarrow{OE}$を、ベクトル$\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{b}$の線形結合で表す。また、線分OE、CD、ABの中点をそれぞれP、Q、Rとおくとき、ベクトル$\overrightarrow{PR}$をベクトル$\overrightarrow{PQ}$を用いて表す。

1. 問題の内容

三角形OABにおいて、辺OAの中点をC、辺OBを2:1に内分する点をDとする。2直線AD、BCの交点をEとするとき、ベクトル$\overrightarrow{OE}$を、ベクトル$\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{b}$の線形結合で表す。また、線分OE、CD、ABの中点をそれぞれP、Q、Rとおくとき、ベクトル$\overrightarrow{PR}$をベクトル$\overrightarrow{PQ}$を用いて表す。

2. 解き方の手順

まず、点Eが直線AD上にあることから、実数$s$を用いて

$\overrightarrow{OE} = (1-s)\overrightarrow{OA} + s\overrightarrow{OD}$

と表せる。$\overrightarrow{OD} = \frac{2}{3}\overrightarrow{OB} = \frac{2}{3}\overrightarrow{b}$なので、

$\overrightarrow{OE} = (1-s)\overrightarrow{a} + \frac{2}{3}s\overrightarrow{b}$ ...(1)

次に、点Eが直線BC上にあることから、実数$t$を用いて

$\overrightarrow{OE} = (1-t)\overrightarrow{OB} + t\overrightarrow{OC}$

と表せる。$\overrightarrow{OC} = \frac{1}{2}\overrightarrow{OA} = \frac{1}{2}\overrightarrow{a}$なので、

$\overrightarrow{OE} = \frac{1}{2}t\overrightarrow{a} + (1-t)\overrightarrow{b}$ ...(2)

(1)と(2)の$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$の係数を比較して、

$1-s = \frac{1}{2}t$

$\frac{2}{3}s = 1-t$

この連立方程式を解くと、$s = \frac{3}{4}$、$t = \frac{1}{2}$となる。

これを(1)または(2)に代入すると、

$\overrightarrow{OE} = \frac{1}{4}\overrightarrow{a} + \frac{1}{2}\overrightarrow{b}$

次に、線分OE、CD、ABの中点をそれぞれP、Q、Rとする。

$\overrightarrow{OP} = \frac{1}{2}\overrightarrow{OE} = \frac{1}{8}\overrightarrow{a} + \frac{1}{4}\overrightarrow{b}$

$\overrightarrow{OQ} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD}) = \frac{1}{2}(\frac{1}{2}\overrightarrow{a} + \frac{2}{3}\overrightarrow{b}) = \frac{1}{4}\overrightarrow{a} + \frac{1}{3}\overrightarrow{b}$

$\overrightarrow{OR} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}) = \frac{1}{2}\overrightarrow{a} + \frac{1}{2}\overrightarrow{b}$

$\overrightarrow{PR} = \overrightarrow{OR} - \overrightarrow{OP} = (\frac{1}{2}-\frac{1}{8})\overrightarrow{a} + (\frac{1}{2}-\frac{1}{4})\overrightarrow{b} = \frac{3}{8}\overrightarrow{a} + \frac{1}{4}\overrightarrow{b}$

$\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{OQ} - \overrightarrow{OP} = (\frac{1}{4}-\frac{1}{8})\overrightarrow{a} + (\frac{1}{3}-\frac{1}{4})\overrightarrow{b} = \frac{1}{8}\overrightarrow{a} + \frac{1}{12}\overrightarrow{b}$

$\overrightarrow{PR} = k\overrightarrow{PQ}$とすると

$\frac{3}{8}\overrightarrow{a} + \frac{1}{4}\overrightarrow{b} = k(\frac{1}{8}\overrightarrow{a} + \frac{1}{12}\overrightarrow{b})$

$\frac{3}{8} = \frac{k}{8}$, $\frac{1}{4} = \frac{k}{12}$

$k=3$

したがって、$\overrightarrow{PR} = 3\overrightarrow{PQ}$

3. 最終的な答え

$\overrightarrow{OE} = \frac{1}{4}\overrightarrow{a} + \frac{1}{2}\overrightarrow{b}$

$\overrightarrow{PR} = 3\overrightarrow{PQ}$