次の方程式がどのような図形を表すか答える問題です。方程式は以下の4つです。 (1) $x^2 + y^2 + 2x = 0$ (2) $x^2 + y^2 - 6x + 10y + 16 = 0$ (3) $2x^2 + 2y^2 - 4x + 8y + 2 = 0$ (4) $x^2 + y^2 - 4x + y + 2 = 0$

1. 問題の内容

次の方程式がどのような図形を表すか答える問題です。方程式は以下の4つです。

(1) $x^2 + y^2 + 2x = 0$

(2) $x^2 + y^2 - 6x + 10y + 16 = 0$

(3) $2x^2 + 2y^2 - 4x + 8y + 2 = 0$

(4) $x^2 + y^2 - 4x + y + 2 = 0$

2. 解き方の手順

これらの式を円の方程式の標準形である $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$ の形に変形することで、円の中心 $(a, b)$ と半径 $r$ を求め、どのような図形か判断します。

(1) $x^2 + y^2 + 2x = 0$

$x^2 + 2x + y^2 = 0$

$(x^2 + 2x + 1) + y^2 = 1$

$(x + 1)^2 + y^2 = 1$

これは、中心 $(-1, 0)$、半径 $1$ の円を表します。

(2) $x^2 + y^2 - 6x + 10y + 16 = 0$

$x^2 - 6x + y^2 + 10y = -16$

$(x^2 - 6x + 9) + (y^2 + 10y + 25) = -16 + 9 + 25$

$(x - 3)^2 + (y + 5)^2 = 18$

これは、中心 $(3, -5)$、半径 $\sqrt{18} = 3\sqrt{2}$ の円を表します。

(3) $2x^2 + 2y^2 - 4x + 8y + 2 = 0$

$x^2 + y^2 - 2x + 4y + 1 = 0$ (両辺を2で割る)

$x^2 - 2x + y^2 + 4y = -1$

$(x^2 - 2x + 1) + (y^2 + 4y + 4) = -1 + 1 + 4$

$(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 4$

これは、中心 $(1, -2)$、半径 $2$ の円を表します。

(4) $x^2 + y^2 - 4x + y + 2 = 0$

$x^2 - 4x + y^2 + y = -2$

$(x^2 - 4x + 4) + (y^2 + y + \frac{1}{4}) = -2 + 4 + \frac{1}{4}$

$(x - 2)^2 + (y + \frac{1}{2})^2 = \frac{9}{4}$

これは、中心 $(2, -\frac{1}{2})$、半径 $\frac{3}{2}$ の円を表します。

3. 最終的な答え

(1) 中心 $(-1, 0)$、半径 $1$ の円

(2) 中心 $(3, -5)$、半径 $3\sqrt{2}$ の円

(3) 中心 $(1, -2)$、半径 $2$ の円

(4) 中心 $(2, -\frac{1}{2})$、半径 $\frac{3}{2}$ の円