(1) 直線 $x + y + 1 = 0$ に関して、点 $A(3, 2)$ と対称な点 $B$ の座標を求める。 (2) 直線 $3x + 2y - 6 = 0$ に関して、点 $A(3, 1)$ と対称な点 $B$ の座標を求める。

1. 問題の内容

(1) 直線 $x + y + 1 = 0$ に関して、点 $A(3, 2)$ と対称な点 $B$ の座標を求める。

(2) 直線 $3x + 2y - 6 = 0$ に関して、点 $A(3, 1)$ と対称な点 $B$ の座標を求める。

2. 解き方の手順

(1)

点 $B$ の座標を $(x, y)$ とする。

線分 $AB$ の中点を $M$ とすると、その座標は $(\frac{x+3}{2}, \frac{y+2}{2})$ となる。

$M$ は直線 $x + y + 1 = 0$ 上にあるので、

$\frac{x+3}{2} + \frac{y+2}{2} + 1 = 0$

$x+3 + y+2 + 2 = 0$

$x + y + 7 = 0$

また、直線 $AB$ は直線 $x + y + 1 = 0$ と垂直である。

直線 $x + y + 1 = 0$ の傾きは $-1$ なので、直線 $AB$ の傾きは $1$ である。

よって、$\frac{y-2}{x-3} = 1$

$y - 2 = x - 3$

$x - y - 1 = 0$

2つの式を連立して解く。

$x + y + 7 = 0$

$x - y - 1 = 0$

2つの式を足すと、

$2x + 6 = 0$

$x = -3$

$y = x - 1 = -3 - 1 = -4$

よって、点 $B$ の座標は $(-3, -4)$

(2)

点 $B$ の座標を $(x, y)$ とする。

線分 $AB$ の中点を $M$ とすると、その座標は $(\frac{x+3}{2}, \frac{y+1}{2})$ となる。

$M$ は直線 $3x + 2y - 6 = 0$ 上にあるので、

$3(\frac{x+3}{2}) + 2(\frac{y+1}{2}) - 6 = 0$

$3(x+3) + 2(y+1) - 12 = 0$

$3x + 9 + 2y + 2 - 12 = 0$

$3x + 2y - 1 = 0$

また、直線 $AB$ は直線 $3x + 2y - 6 = 0$ と垂直である。

直線 $3x + 2y - 6 = 0$ の傾きは $-\frac{3}{2}$ なので、直線 $AB$ の傾きは $\frac{2}{3}$ である。

よって、$\frac{y-1}{x-3} = \frac{2}{3}$

$3(y-1) = 2(x-3)$

$3y - 3 = 2x - 6$

$2x - 3y - 3 = 0$

2つの式を連立して解く。

$3x + 2y - 1 = 0$

$2x - 3y - 3 = 0$

1つ目の式に3をかけ、2つ目の式に2をかける。

$9x + 6y - 3 = 0$

$4x - 6y - 6 = 0$

2つの式を足すと、

$13x - 9 = 0$

$x = \frac{9}{13}$

$2(\frac{9}{13}) - 3y - 3 = 0$

$\frac{18}{13} - 3y - 3 = 0$

$3y = \frac{18}{13} - \frac{39}{13} = -\frac{21}{13}$

$y = -\frac{7}{13}$

よって、点 $B$ の座標は $(\frac{9}{13}, -\frac{7}{13})$

3. 最終的な答え

(1) $(-3, -4)$

(2) $(\frac{9}{13}, -\frac{7}{13})$