幾何ベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ の外積 $\vec{a} \wedge \vec{b}$ を、外積の分配法則を使わずに図2を用いて求める問題です。

1. 問題の内容

幾何ベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ の外積 $\vec{a} \wedge \vec{b}$ を、外積の分配法則を使わずに図2を用いて求める問題です。

2. 解き方の手順

外積 $\vec{a} \wedge \vec{b}$ の大きさは、ベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ が作る平行四辺形の面積に等しいです。図2において、ベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ が作る平行四辺形は OAVB です。

平行四辺形OAVBの面積は、長方形 OPUB の面積から、三角形 OPQ, 三角形 QRA, 三角形 AUB, 三角形 OBT の面積を引くことで求められます。

図から、ベクトル $\vec{a}$ の成分は $\vec{a} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix}$、ベクトル $\vec{b}$ の成分は $\vec{b} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix}$ とわかります。

長方形OPUBの面積は、$a_1 b_2$ です。

三角形 OPQ の面積は $\frac{1}{2} a_2 b_1$ です。

三角形 QRA の面積は $\frac{1}{2} (a_1 - b_1) (b_2 - a_2) = \frac{1}{2} (a_1 b_2 - a_1 a_2 - b_1 b_2 + b_1 a_2)$です。

三角形 AUB の面積は $\frac{1}{2} a_1 a_2$ です。

三角形 OBT の面積は $\frac{1}{2} a_2 b_1$ です。

したがって、平行四辺形OAVBの面積は

$a_1 b_2 - \frac{1}{2} a_2 b_1 - \frac{1}{2} (a_1 b_2 - a_1 a_2 - b_1 b_2 + b_1 a_2) - \frac{1}{2} a_1 a_2 - \frac{1}{2} a_2 b_1$

$= a_1 b_2 - a_2 b_1$

3. 最終的な答え

$\vec{a} \wedge \vec{b} = a_1 b_2 - a_2 b_1$