定積分 $\int_{0}^{4} |(x-4)(x-1)^3| dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{4} |(x-4)(x-1)^3| dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数 $|(x-4)(x-1)^3|$ の絶対値記号を外すことを考えます。

そのためには、$(x-4)(x-1)^3$ の符号を調べる必要があります。

$x$ の範囲は $0 \le x \le 4$ です。

$(x-1)^3$ の符号は、$x-1$ の符号と同じです。

したがって、$0 \le x < 1$ のとき、$(x-1)^3 < 0$ であり、$1 < x \le 4$ のとき、$(x-1)^3 > 0$ です。

$x-4$ の符号は、$0 \le x \le 4$ の範囲で、$x < 4$ のとき、$x-4 < 0$ です。$x=4$のとき、$x-4=0$です。

したがって、

- $0 \le x < 1$ のとき、$(x-4)(x-1)^3 > 0$

- $1 < x < 4$ のとき、$(x-4)(x-1)^3 < 0$

- $x = 1$ または $x = 4$ のとき、$(x-4)(x-1)^3 = 0$

よって、

$|(x-4)(x-1)^3| = (x-4)(x-1)^3$ (when $0 \le x \le 1$)

$|(x-4)(x-1)^3| = -(x-4)(x-1)^3$ (when $1 \le x \le 4$)

したがって、積分は次のように分割できます。

$\int_{0}^{4} |(x-4)(x-1)^3| dx = \int_{0}^{1} (x-4)(x-1)^3 dx + \int_{1}^{4} -(x-4)(x-1)^3 dx$

$(x-4)(x-1)^3 = (x-4)(x^3 - 3x^2 + 3x - 1) = x^4 - 3x^3 + 3x^2 - x - 4x^3 + 12x^2 - 12x + 4 = x^4 - 7x^3 + 15x^2 - 13x + 4$

$\int (x^4 - 7x^3 + 15x^2 - 13x + 4) dx = \frac{x^5}{5} - \frac{7x^4}{4} + 5x^3 - \frac{13x^2}{2} + 4x + C$

$\int_{0}^{1} (x-4)(x-1)^3 dx = \left[ \frac{x^5}{5} - \frac{7x^4}{4} + 5x^3 - \frac{13x^2}{2} + 4x \right]_{0}^{1} = \frac{1}{5} - \frac{7}{4} + 5 - \frac{13}{2} + 4 = \frac{4 - 35 + 100 - 130 + 80}{20} = \frac{19}{20}$

$\int_{1}^{4} -(x-4)(x-1)^3 dx = - \left[ \frac{x^5}{5} - \frac{7x^4}{4} + 5x^3 - \frac{13x^2}{2} + 4x \right]_{1}^{4} = - \left( \left( \frac{4^5}{5} - \frac{7 \cdot 4^4}{4} + 5 \cdot 4^3 - \frac{13 \cdot 4^2}{2} + 4 \cdot 4 \right) - \left( \frac{1}{5} - \frac{7}{4} + 5 - \frac{13}{2} + 4 \right) \right) = - \left( \frac{1024}{5} - 448 + 320 - 104 + 16 - \frac{19}{20} \right) = - \left( \frac{1024}{5} - 216 - \frac{19}{20} \right) = - \left( \frac{4096 - 4320 - 19}{20} \right) = - \left( \frac{-243}{20} \right) = \frac{243}{20}$

$\int_{0}^{4} |(x-4)(x-1)^3| dx = \frac{19}{20} + \frac{243}{20} = \frac{262}{20} = \frac{131}{10}$

3. 最終的な答え

$\frac{131}{10}$