与えられた数列の和 $S$ を求める問題です。数列 $S$ は以下のように定義されています。 $S = 1 \cdot 1 + 3 \cdot 3 + 5 \cdot 3^2 + \dots + (2n-1) \cdot 3^{n-1}$

1. 問題の内容

与えられた数列の和 $S$ を求める問題です。数列 $S$ は以下のように定義されています。

$S = 1 \cdot 1 + 3 \cdot 3 + 5 \cdot 3^2 + \dots + (2n-1) \cdot 3^{n-1}$

2. 解き方の手順

この数列の和を求めるために、等比数列の和の公式を応用します。

まず、$S$ に $3$ を掛けた $3S$ を考えます。

$3S = 1 \cdot 3 + 3 \cdot 3^2 + 5 \cdot 3^3 + \dots + (2n-3) \cdot 3^{n-1} + (2n-1) \cdot 3^n$

次に、$S$ から $3S$ を引きます。

$S - 3S = (1 \cdot 1 + 3 \cdot 3 + 5 \cdot 3^2 + \dots + (2n-1) \cdot 3^{n-1}) - (1 \cdot 3 + 3 \cdot 3^2 + 5 \cdot 3^3 + \dots + (2n-3) \cdot 3^{n-1} + (2n-1) \cdot 3^n)$

$-2S = 1 + (3-1) \cdot 3 + (5-3) \cdot 3^2 + \dots + ((2n-1) - (2n-3)) \cdot 3^{n-1} - (2n-1) \cdot 3^n$

$-2S = 1 + 2 \cdot 3 + 2 \cdot 3^2 + \dots + 2 \cdot 3^{n-1} - (2n-1) \cdot 3^n$

$-2S = 1 + 2(3 + 3^2 + \dots + 3^{n-1}) - (2n-1) \cdot 3^n$

ここで、$3 + 3^2 + \dots + 3^{n-1}$ は初項 $3$、公比 $3$、項数 $n-1$ の等比数列の和なので、

$3 + 3^2 + \dots + 3^{n-1} = \frac{3(3^{n-1} - 1)}{3-1} = \frac{3(3^{n-1} - 1)}{2}$

これを $-2S$ の式に代入します。

$-2S = 1 + 2 \cdot \frac{3(3^{n-1} - 1)}{2} - (2n-1) \cdot 3^n$

$-2S = 1 + 3(3^{n-1} - 1) - (2n-1) \cdot 3^n$

$-2S = 1 + 3^n - 3 - (2n-1) \cdot 3^n$

$-2S = 3^n - 2 - (2n-1) \cdot 3^n$

$-2S = 3^n - 2 - 2n \cdot 3^n + 3^n$

$-2S = 2 \cdot 3^n - 2 - 2n \cdot 3^n$

$-2S = (2 - 2n) \cdot 3^n - 2$

$S = (n-1) \cdot 3^n + 1$

3. 最終的な答え

$S = (n-1) \cdot 3^n + 1$