$x^2 - 2x - 1$ で割ると、商が $2x - 3$、余りが $-2x$ である多項式を求めます。

## 問題10 (1)

1. 問題の内容

$x^2 - 2x - 1$ で割ると、商が $2x - 3$、余りが $-2x$ である多項式を求めます。

2. 解き方の手順

割られる多項式を $P(x)$ とすると、

$P(x) = (x^2 - 2x - 1)(2x - 3) + (-2x)$

$P(x)$ を展開して整理します。

$P(x) = 2x^3 - 3x^2 - 4x^2 + 6x - 2x + 3 - 2x$

$P(x) = 2x^3 - 7x^2 + 2x + 3$

3. 最終的な答え

$2x^3 - 7x^2 + 2x + 3$

## 問題10 (2)

1. 問題の内容

$x^2 + x + 1$ で割ると、商が $x - 3$、余りが $2x - 1$ である多項式を求めます。

2. 解き方の手順

割られる多項式を $Q(x)$ とすると、

$Q(x) = (x^2 + x + 1)(x - 3) + (2x - 1)$

$Q(x)$ を展開して整理します。

$Q(x) = x^3 - 3x^2 + x^2 - 3x + x - 3 + 2x - 1$

$Q(x) = x^3 - 2x^2 + 0x - 4$

$Q(x) = x^3 - 2x^2 - 4$

3. 最終的な答え

$x^3 - 2x^2 - 4$

## 問題11 (1)

1. 問題の内容

$x^3 - x^2 + 3x + 1$ を多項式 $B$ で割ると、商が $x + 1$、余りが $3x - 1$ となるような $B$ を求めます。

2. 解き方の手順

$x^3 - x^2 + 3x + 1 = B(x+1) + (3x - 1)$

$B(x+1) = x^3 - x^2 + 3x + 1 - (3x - 1)$

$B(x+1) = x^3 - x^2 + 2$

$B = \frac{x^3 - x^2 + 2}{x+1}$

多項式の割り算を実行します。

```

x^2 - 2x + 2

x + 1 | x^3 - x^2 + 0x + 2

x^3 + x^2

----------------

-2x^2 + 0x

-2x^2 - 2x

----------------

2x + 2

2x + 2

----------------

0

```

よって、$B = x^2 - 2x + 2$

3. 最終的な答え

$x^2 - 2x + 2$

## 問題11 (2)

1. 問題の内容

$6x^4 + 7x^3 - 9x^2 - x + 2$ を多項式 $B$ で割ると、商が $2x^2 + x - 3$、余りが $6x - 1$ となるような $B$ を求めます。

2. 解き方の手順

$6x^4 + 7x^3 - 9x^2 - x + 2 = B(2x^2 + x - 3) + (6x - 1)$

$B(2x^2 + x - 3) = 6x^4 + 7x^3 - 9x^2 - x + 2 - (6x - 1)$

$B(2x^2 + x - 3) = 6x^4 + 7x^3 - 9x^2 - 7x + 3$

$B = \frac{6x^4 + 7x^3 - 9x^2 - 7x + 3}{2x^2 + x - 3}$

多項式の割り算を実行します。

```

3x^2 + 2x - 1

2x^2+x-3 | 6x^4 + 7x^3 - 9x^2 - 7x + 3

6x^4 + 3x^3 - 9x^2

---------------------

4x^3 + 0x^2 - 7x

4x^3 + 2x^2 - 6x

---------------------

-2x^2 - x + 3

-2x^2 - x + 3

---------------------

0

```

よって、$B = 3x^2 + 2x - 1$

3. 最終的な答え

$3x^2 + 2x - 1$

## 問題11 (3)

1. 問題の内容

$x^4 - 6x^2 + 2x + 8$ を多項式 $B$ で割ると、商が $B$ と一致し、余りが $2x - 1$ となるような $B$ を求めます。

2. 解き方の手順

$x^4 - 6x^2 + 2x + 8 = B^2 + (2x - 1)$

$B^2 = x^4 - 6x^2 + 2x + 8 - (2x - 1)$

$B^2 = x^4 - 6x^2 + 9$

$B^2 = (x^2 - 3)^2$

よって、$B = x^2 - 3$

3. 最終的な答え

$x^2 - 3$