1. 問題の内容
与えられた累乗根に関する計算問題です。
(1)では、累乗根の値を求め、
(2)と(3)では、与えられた式を計算します。
2. 解き方の手順
(1)
1. $\sqrt[3]{-8}$ は、$(-2)^3 = -8$ なので、$\sqrt[3]{-8} = -2$。
2. $\frac{1}{81}$の4乗根は、$x^4 = \frac{1}{81}$を満たす$x$を求める。$x^4 = (\frac{1}{3})^4$より、$x=\pm\frac{1}{3}$。4乗根と明記されているので正の値のみ答えればよい。
3. $5^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{5^{\frac{2}{3}}} = \frac{1}{\sqrt[3]{5^2}} = \frac{1}{\sqrt[3]{25}}$。
4. $\sqrt[3]{16} = \sqrt[3]{2^4} = 2^{\frac{4}{3}} = 2^{1+\frac{1}{3}} = 2 \cdot 2^{\frac{1}{3}} = 2 \sqrt[3]{2}$ 。よって$\sqrt[3]{16} = \sqrt[3]{2^4} = \sqrt[3]{2^\boxed{4}} = 2^{\boxed{\frac{4}{3}}}$
(2)
1. $\sqrt[3]{4}\sqrt{16}=\sqrt[3]{4\cdot 16}=\sqrt[3]{64} = \sqrt[3]{4^3} = 4$
2. $\frac{\sqrt[4]{32}}{\sqrt[4]{2}} = \sqrt[4]{\frac{32}{2}} = \sqrt[4]{16} = \sqrt[4]{2^4} = 2$
3. $(\sqrt[3]{7})^2=7^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{7^2} = \sqrt[3]{49}$
4. $\sqrt[4]{\sqrt[3]{15}} = \sqrt[12]{15} = 15^{\frac{1}{12}}$
(3)
1. $2^{\frac{4}{3}} \times 2^{\frac{3}{2}} \div 2^{\frac{5}{6}} = 2^{\frac{4}{3}+\frac{3}{2}-\frac{5}{6}} = 2^{\frac{8+9-5}{6}} = 2^{\frac{12}{6}} = 2^2 = 4$
2. $\sqrt[3]{5} \div \sqrt[12]{5} \times \sqrt[4]{5} = 5^{\frac{1}{3}} \div 5^{\frac{1}{12}} \times 5^{\frac{1}{4}} = 5^{\frac{1}{3} - \frac{1}{12} + \frac{1}{4}} = 5^{\frac{4-1+3}{12}} = 5^{\frac{6}{12}} = 5^{\frac{1}{2}} = \sqrt{5}$
3. 最終的な答え
(1)
1. -2
2. $\frac{1}{3}$
3. $\frac{1}{\sqrt[3]{25}}$
4. $\sqrt[3]{16} = \sqrt[3]{2^4} = \sqrt[3]{2^{4}} = 2^{\frac{4}{3}}$
(2)
1. 4
2. 2
3. $\sqrt[3]{49}$
4. $\sqrt[12]{15}$
(3)