問題20: $a, b$は実数とするとき、次の命題の真偽を調べよ。また、その逆、対偶、裏を述べ、それらの真偽を調べよ。 (1) $a>b \implies a-b>0$ (2) $a=0 \implies ab=0$ 問題21: $m, n$ は自然数とするとき、次の命題とその対偶の真偽を調べ、それらが一致することを確かめよ。 (1) $m$は4の倍数 $\implies$ $m$は偶数 (2) $m+n$は偶数 $\implies$ $m$は偶数または $n$は偶数

1. 問題の内容

問題20:

$a, b$は実数とするとき、次の命題の真偽を調べよ。また、その逆、対偶、裏を述べ、それらの真偽を調べよ。

(1) $a>b \implies a-b>0$

(2) $a=0 \implies ab=0$

問題21:

$m, n$ は自然数とするとき、次の命題とその対偶の真偽を調べ、それらが一致することを確かめよ。

(1) $m$は4の倍数 $\implies$ $m$は偶数

(2) $m+n$は偶数 $\implies$ $m$は偶数または $n$は偶数

2. 解き方の手順

問題20:

(1) $a>b \implies a-b>0$

元の命題：$a>b$ ならば $a-b>0$ (真)

逆：$a-b>0$ ならば $a>b$ (真)

対偶：$a-b \le 0$ ならば $a \le b$ (真)

裏：$a \le b$ ならば $a-b \le 0$ (真)

(2) $a=0 \implies ab=0$

元の命題：$a=0$ ならば $ab=0$ (真)

逆：$ab=0$ ならば $a=0$ (偽). ($b=0$の可能性がある)

対偶：$ab \ne 0$ ならば $a \ne 0$ (真)

裏：$a \ne 0$ ならば $ab \ne 0$ (偽). ($b=0$の可能性がある)

問題21:

(1) $m$は4の倍数 $\implies$ $m$は偶数

元の命題：$m$が4の倍数ならば、$m$は偶数 (真)

対偶：$m$が奇数ならば、$m$は4の倍数ではない (真)

(2) $m+n$は偶数 $\implies$ $m$は偶数または $n$は偶数

元の命題：$m+n$が偶数ならば、$m$は偶数または $n$は偶数 (真)

対偶：$m$が奇数かつ $n$が奇数ならば、$m+n$は奇数 (真)

3. 最終的な答え

問題20:

(1) 元の命題：真, 逆：真, 対偶：真, 裏：真

(2) 元の命題：真, 逆：偽, 対偶：真, 裏：偽

問題21:

(1) 元の命題：真, 対偶：真

(2) 元の命題：真, 対偶：真