与えられた行列 $A$ の余因子行列 $\tilde{A}$ を求めよ。 $A = \begin{bmatrix} -2 & 3 & -4 \\ 4 & -3 & 8 \\ -4 & 3 & -4 \end{bmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた行列 $A$ の余因子行列 $\tilde{A}$ を求めよ。

$A = \begin{bmatrix} -2 & 3 & -4 \\ 4 & -3 & 8 \\ -4 & 3 & -4 \end{bmatrix}$

2. 解き方の手順

余因子行列 $\tilde{A}$ は、行列 $A$ の各成分の余因子を計算し、それらを転置した行列です。余因子 $C_{ij}$ は、行列 $A$ から $i$ 行と $j$ 列を取り除いた行列の行列式に $(-1)^{i+j}$ をかけたものです。

まず、各成分の余因子を計算します。

$C_{11} = (-1)^{1+1} \begin{vmatrix} -3 & 8 \\ 3 & -4 \end{vmatrix} = (-3)(-4) - (8)(3) = 12 - 24 = -12$

$C_{12} = (-1)^{1+2} \begin{vmatrix} 4 & 8 \\ -4 & -4 \end{vmatrix} = -( (4)(-4) - (8)(-4) ) = -(-16 + 32) = -16$

$C_{13} = (-1)^{1+3} \begin{vmatrix} 4 & -3 \\ -4 & 3 \end{vmatrix} = (4)(3) - (-3)(-4) = 12 - 12 = 0$

$C_{21} = (-1)^{2+1} \begin{vmatrix} 3 & -4 \\ 3 & -4 \end{vmatrix} = -( (3)(-4) - (-4)(3) ) = -(-12 + 12) = 0$

$C_{22} = (-1)^{2+2} \begin{vmatrix} -2 & -4 \\ -4 & -4 \end{vmatrix} = (-2)(-4) - (-4)(-4) = 8 - 16 = -8$

$C_{23} = (-1)^{2+3} \begin{vmatrix} -2 & 3 \\ -4 & 3 \end{vmatrix} = -( (-2)(3) - (3)(-4) ) = -(-6 + 12) = -6$

$C_{31} = (-1)^{3+1} \begin{vmatrix} 3 & -4 \\ -3 & 8 \end{vmatrix} = (3)(8) - (-4)(-3) = 24 - 12 = 12$

$C_{32} = (-1)^{3+2} \begin{vmatrix} -2 & -4 \\ 4 & 8 \end{vmatrix} = -( (-2)(8) - (-4)(4) ) = -(-16 + 16) = 0$

$C_{33} = (-1)^{3+3} \begin{vmatrix} -2 & 3 \\ 4 & -3 \end{vmatrix} = (-2)(-3) - (3)(4) = 6 - 12 = -6$

次に、余因子行列 $C$ を作成します。

$C = \begin{bmatrix} -12 & -16 & 0 \\ 0 & -8 & -6 \\ 12 & 0 & -6 \end{bmatrix}$

最後に、余因子行列を転置して、$\tilde{A}$ を求めます。

$\tilde{A} = C^T = \begin{bmatrix} -12 & 0 & 12 \\ -16 & -8 & 0 \\ 0 & -6 & -6 \end{bmatrix}$

3. 最終的な答え

$\tilde{A} = \begin{bmatrix} -12 & 0 & 12 \\ -16 & -8 & 0 \\ 0 & -6 & -6 \end{bmatrix}$