2つの直線 $ax + 2y = 1$ と $x + (a-1)y = 3$ が、(1)平行、(2)垂直になる時の定数 $a$ の値をそれぞれ求める。

1. 問題の内容

2つの直線 $ax + 2y = 1$ と $x + (a-1)y = 3$ が、(1)平行、(2)垂直になる時の定数 $a$ の値をそれぞれ求める。

2. 解き方の手順

(1) 平行の場合

2つの直線が平行である条件は、それぞれの直線の傾きが等しいことである。

与えられた式を傾きと切片の形に変形する。

$ax + 2y = 1$ より、

$2y = -ax + 1$

$y = -\frac{a}{2}x + \frac{1}{2}$

$x + (a-1)y = 3$ より、

$(a-1)y = -x + 3$

$y = -\frac{1}{a-1}x + \frac{3}{a-1}$ (ただし、$a \ne 1$)

2つの直線が平行であるためには、傾きが等しい必要がある。

$-\frac{a}{2} = -\frac{1}{a-1}$

$\frac{a}{2} = \frac{1}{a-1}$

$a(a-1) = 2$

$a^2 - a = 2$

$a^2 - a - 2 = 0$

$(a-2)(a+1) = 0$

$a = 2, -1$

$a=1$ の場合、$x + (1-1)y = 3$ より $x=3$となり、$ax+2y=1$は$x+2y=1$となる。これは平行ではないので、$a=1$は解ではない。

(2) 垂直の場合

2つの直線が垂直である条件は、それぞれの直線の傾きの積が $-1$ であることである。

傾きはそれぞれ $-\frac{a}{2}$ と $-\frac{1}{a-1}$ (ただし、$a \ne 1$)なので、

$(-\frac{a}{2})(-\frac{1}{a-1}) = -1$

$\frac{a}{2(a-1)} = -1$

$a = -2(a-1)$

$a = -2a + 2$

$3a = 2$

$a = \frac{2}{3}$

$a=1$ の場合、$x + (1-1)y = 3$ より $x=3$となり、$ax+2y=1$は$x+2y=1$となる。これは垂直ではないので、$a=1$は解ではない。

3. 最終的な答え

(1) 平行の場合: $a = 2, -1$

(2) 垂直の場合: $a = \frac{2}{3}$