与えられた6つの対数関数の方程式または不等式を解く問題です。 (1) $\log_2 x = 4$ (2) $\log_{\frac{1}{2}} x = 2$ (3) $\log_2 x \le 4$ (4) $\log_{\frac{1}{2}} x < 2$ (5) $\log_3 x > 2$ (6) $\log_{0.5} x \ge 2$

1. 問題の内容

与えられた6つの対数関数の方程式または不等式を解く問題です。

(1) $\log_2 x = 4$

(2) $\log_{\frac{1}{2}} x = 2$

(3) $\log_2 x \le 4$

(4) $\log_{\frac{1}{2}} x < 2$

(5) $\log_3 x > 2$

(6) $\log_{0.5} x \ge 2$

2. 解き方の手順

(1) $\log_2 x = 4$

対数の定義より、$x = 2^4$

したがって、$x = 16$

(2) $\log_{\frac{1}{2}} x = 2$

対数の定義より、$x = (\frac{1}{2})^2$

したがって、$x = \frac{1}{4}$

(3) $\log_2 x \le 4$

真数条件より、$x > 0$。

$\log_2 x \le 4$ は $\log_2 x \le \log_2 2^4$ と書き換えられる。

底が2で1より大きいので、$x \le 2^4$。つまり、$x \le 16$。

真数条件と合わせると、$0 < x \le 16$。

(4) $\log_{\frac{1}{2}} x < 2$

真数条件より、$x > 0$。

$\log_{\frac{1}{2}} x < 2$ は $\log_{\frac{1}{2}} x < \log_{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2})^2$ と書き換えられる。

底が$\frac{1}{2}$で1より小さいので、$x > (\frac{1}{2})^2$。つまり、$x > \frac{1}{4}$。

真数条件と合わせると、$x > \frac{1}{4}$。

(5) $\log_3 x > 2$

真数条件より、$x > 0$。

$\log_3 x > 2$ は $\log_3 x > \log_3 3^2$ と書き換えられる。

底が3で1より大きいので、$x > 3^2$。つまり、$x > 9$。

真数条件と合わせると、$x > 9$。

(6) $\log_{0.5} x \ge 2$

真数条件より、$x > 0$。

$\log_{0.5} x \ge 2$ は $\log_{0.5} x \ge \log_{0.5} (0.5)^2$ と書き換えられる。

底が0.5で1より小さいので、$x \le (0.5)^2$。つまり、$x \le 0.25$。

真数条件と合わせると、$0 < x \le 0.25$。

3. 最終的な答え

(1) $x = 16$

(2) $x = \frac{1}{4}$

(3) $0 < x \le 16$

(4) $x > \frac{1}{4}$

(5) $x > 9$

(6) $0 < x \le \frac{1}{4}$