与えられた式を簡略化する問題です。与えられた式は $\frac{1 \cdot (3^n - 1)}{3 - 1} - n \cdot 3^n$ です。この式を計算し、$\frac{1}{2} \{ (1 - 2n) \cdot 3^n - 1 \}$ になることを示します。

1. 問題の内容

与えられた式を簡略化する問題です。与えられた式は

$\frac{1 \cdot (3^n - 1)}{3 - 1} - n \cdot 3^n$

です。この式を計算し、$\frac{1}{2} \{ (1 - 2n) \cdot 3^n - 1 \}$ になることを示します。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を整理します。

$\frac{1 \cdot (3^n - 1)}{3 - 1} - n \cdot 3^n = \frac{3^n - 1}{2} - n \cdot 3^n$

次に、通分して整理します。

$\frac{3^n - 1}{2} - \frac{2n \cdot 3^n}{2} = \frac{3^n - 1 - 2n \cdot 3^n}{2}$

分子を整理します。

$\frac{3^n - 2n \cdot 3^n - 1}{2} = \frac{(1 - 2n) \cdot 3^n - 1}{2}$

最後に、$\frac{1}{2}$ を括弧の外に出します。

$\frac{(1 - 2n) \cdot 3^n - 1}{2} = \frac{1}{2} \{ (1 - 2n) \cdot 3^n - 1 \}$

これで、与えられた式が目標の式に変形できました。

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2} \{ (1 - 2n) \cdot 3^n - 1 \}$