2点 $A(a+1, a-1)$ と $B(2a, a^2-1)$ が与えられている。 (1) 2点A, Bが異なる点となるような $a$ の条件を求める。 (2) 直線ABの方程式を求める。 (3) 2点A, Bおよび点C(3, 1)が一直線上にあるとき、定数 $a$ の値を求める。

1. 問題の内容

2点 $A(a+1, a-1)$ と $B(2a, a^2-1)$ が与えられている。

(1) 2点A, Bが異なる点となるような $a$ の条件を求める。

(2) 直線ABの方程式を求める。

(3) 2点A, Bおよび点C(3, 1)が一直線上にあるとき、定数 $a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 2点A, Bが異なるための条件は、$A \neq B$ であること。つまり、$a+1 \neq 2a$ または $a-1 \neq a^2-1$ である。

$a+1 \neq 2a$ より $a \neq 1$。

$a-1 \neq a^2-1$ より $a^2 - a \neq 0$, つまり $a(a-1) \neq 0$, よって $a \neq 0$ かつ $a \neq 1$。

したがって、求める条件は $a \neq 0$ かつ $a \neq 1$。

(2) 直線ABの方程式を求める。まず、AとBが異なる条件は(1)より、$a \neq 0$ かつ $a \neq 1$ である。

直線ABの傾きは

$m = \frac{(a^2-1)-(a-1)}{2a-(a+1)} = \frac{a^2-a}{a-1} = \frac{a(a-1)}{a-1} = a$ (ただし、$a \neq 1$)

よって、直線ABの方程式は、$y - (a-1) = a(x - (a+1))$。

$y - a + 1 = ax - a^2 - a$

$y = ax - a^2 + 2a - 1$

$y = ax - (a-1)^2$

(3) 3点A, B, Cが一直線上にあるとき、直線ABは点C(3, 1)を通る。

$1 = 3a - (a-1)^2$

$1 = 3a - (a^2 - 2a + 1)$

$1 = 3a - a^2 + 2a - 1$

$a^2 - 5a + 2 = 0$

$a = \frac{5 \pm \sqrt{25-8}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{17}}{2}$

$a \neq 0$ かつ $a \neq 1$ であることを確認する。

$a = \frac{5 \pm \sqrt{17}}{2}$ はどちらも条件を満たす。

3. 最終的な答え

(1) $a \neq 0$ かつ $a \neq 1$

(2) $y = ax - (a-1)^2$

(3) $a = \frac{5 \pm \sqrt{17}}{2}$