$x$が$-\frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}$を満たす実数のとき、無限等比級数 $1 + 2x + 4x^2 + 8x^3 + \cdots$ の和を求める。

1. 問題の内容

$x$が$-\frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}$を満たす実数のとき、無限等比級数 $1 + 2x + 4x^2 + 8x^3 + \cdots$ の和を求める。

2. 解き方の手順

この級数は初項 $1$, 公比 $2x$ の無限等比級数である。

無限等比級数が収束するための条件は、公比の絶対値が1より小さいことである。つまり、$|2x| < 1$であれば、級数は収束する。

$|2x| < 1$は、$-\frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}$と同値であり、これは問題文の条件と一致する。したがって、与えられた条件下で級数は収束する。

無限等比級数の和の公式は、初項を$a$, 公比を$r$とすると、

$S = \frac{a}{1-r}$

である。

この問題の場合、$a = 1$で、$r = 2x$である。したがって、無限等比級数の和は、

$S = \frac{1}{1 - 2x}$

となる。

3. 最終的な答え

$\frac{1}{1-2x}$