2つの行列式を計算する問題です。一つは5x5の行列式、もう一つはnxnの行列式です。

1. 問題の内容

2つの行列式を計算する問題です。一つは5x5の行列式、もう一つはnxnの行列式です。

2. 解き方の手順

(8)の行列式を計算します。

1列目で余因子展開を行います。

すると、

$\begin{vmatrix}

0 & 0 & 0 & 3 \\

0 & 2 & 0 & 5 \\

0 & 13 & -2 & -4 \\

0 & -6 & 1 & 2 \\

8 & 1 & 2 & 4

\end{vmatrix} = -8 \begin{vmatrix}

0 & 0 & 3 \\

2 & 0 & 5 \\

13 & -2 & -4 \\

-6 & 1 & 2

\end{vmatrix} $

さらに1列目で余因子展開を行います。

$ -8 \begin{vmatrix}

0 & 0 & 3 \\

2 & 0 & 5 \\

13 & -2 & -4 \\

-6 & 1 & 2

\end{vmatrix} = -8 (-2) \begin{vmatrix}

0 & 3 \\

2 & 5 \\

-6 & -4 \\

1 & 2

\end{vmatrix} = 16 \begin{vmatrix}

0 & 3 \\

2 & 5 \\

-6 & -4 \\

1 & 2

\end{vmatrix}$

ここで、３行目で余因子展開を行うと計算が面倒なので、まず行基本変形を行って計算を簡単にします。

$ \begin{vmatrix}

2 & 0 & 5 \\

13 & -2 & -4 \\

-6 & 1 & 2

\end{vmatrix} $

3行目に2行目の1/2を足すと、

$\begin{vmatrix}

2 & 0 & 5 \\

13 & -2 & -4 \\

-6 & 1 & 2

\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}

2 & 0 & 5 \\

13 & -2 & -4 \\

1 & 0 & 4

\end{vmatrix}$

２列目で余因子展開すると、

$ \begin{vmatrix}

2 & 0 & 5 \\

13 & -2 & -4 \\

1 & 0 & 4

\end{vmatrix} = (-1)^{2+2} (-2) \begin{vmatrix}

2 & 5 \\

1 & 4

\end{vmatrix} = -2 (2 \cdot 4 - 5 \cdot 1) = -2 (8-5) = -2(3) = -6 $

よって、

$ -8 \begin{vmatrix}

0 & 0 & 3 \\

2 & 0 & 5 \\

13 & -2 & -4 \\

-6 & 1 & 2

\end{vmatrix} = -8 \cdot(-2) \begin{vmatrix}

2 & 0 & 5 \\

13 & -2 & -4 \\

-6 & 1 & 2

\end{vmatrix}=8 \cdot (-6) = -48 $

(10)の行列式を計算します。

与えられた行列は、単位行列を列の順序を反転させたものです。

$n$回入れ替えを行うと単位行列に戻ります。具体的には、1列目とn列目、2列目とn-1列目、...を入れ替えます。

入れ替えの回数は、$k = \lfloor \frac{n}{2} \rfloor$ 回です。

行列式の性質から、2つの列を入れ替えると符号が反転します。

したがって、求める行列式は $(-1)^k = (-1)^{\lfloor \frac{n}{2} \rfloor}$です。

3. 最終的な答え

(8) の行列式: -48

(10) の行列式: $(-1)^{\lfloor \frac{n}{2} \rfloor}$