与えられた行列 $A$ のランクを求める問題です。 $A = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 2 & 2 \\ 0 & 2 & 6 & 0 \\ 1 & 1 & 4 & -2 \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた行列 $A$ のランクを求める問題です。

$A = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 2 & 2 \\ 0 & 2 & 6 & 0 \\ 1 & 1 & 4 & -2 \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

行列のランクは、行基本変形（掃き出し法）によって階段行列に変形したときの、0でない行の数に等しくなります。

まず、与えられた行列 $A$ を行基本変形によって階段行列に変形します。

ステップ1：1行目に1を加える。

$\begin{pmatrix} -1 & 1 & 2 & 2 \\ 0 & 2 & 6 & 0 \\ 1 & 1 & 4 & -2 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_3 \rightarrow R_3 + R_1} \begin{pmatrix} -1 & 1 & 2 & 2 \\ 0 & 2 & 6 & 0 \\ 0 & 2 & 6 & 0 \end{pmatrix}$

ステップ2：2行目を1/2倍にする

$\begin{pmatrix} -1 & 1 & 2 & 2 \\ 0 & 2 & 6 & 0 \\ 0 & 2 & 6 & 0 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_2 \rightarrow \frac{1}{2} R_2} \begin{pmatrix} -1 & 1 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & 3 & 0 \\ 0 & 2 & 6 & 0 \end{pmatrix}$

ステップ3：3行目から2行目を2倍引く

$\begin{pmatrix} -1 & 1 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & 3 & 0 \\ 0 & 2 & 6 & 0 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_3 \rightarrow R_3 - 2R_2} \begin{pmatrix} -1 & 1 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

ステップ4：1行目に2行目を引く

$\begin{pmatrix} -1 & 1 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_1 \rightarrow R_1 - R_2} \begin{pmatrix} -1 & 0 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

ステップ5：1行目に-1をかける

$\begin{pmatrix} -1 & 0 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_1 \rightarrow -R_1} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & -2 \\ 0 & 1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

階段行列に変形した結果、0でない行は2行あります。したがって、行列Aのランクは2です。

3. 最終的な答え

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