与えられた数 $a = \frac{4}{3\sqrt{2} - \sqrt{10}}$ について、 (1) $a$ の分母を有理化し、簡略化する。 (2) $a + \frac{2}{a}$ の値と $a^2 + \frac{4}{a^2}$ の値を求める。

## 解答

1. 問題の内容

与えられた数 $a = \frac{4}{3\sqrt{2} - \sqrt{10}}$ について、

(1) $a$ の分母を有理化し、簡略化する。

(2) $a + \frac{2}{a}$ の値と $a^2 + \frac{4}{a^2}$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $a$ の分母を有理化する。分母の共役な複素数 $3\sqrt{2} + \sqrt{10}$ を分子と分母に掛ける。

$a = \frac{4}{3\sqrt{2} - \sqrt{10}} = \frac{4(3\sqrt{2} + \sqrt{10})}{(3\sqrt{2} - \sqrt{10})(3\sqrt{2} + \sqrt{10})}$

分母を展開すると、

$(3\sqrt{2} - \sqrt{10})(3\sqrt{2} + \sqrt{10}) = (3\sqrt{2})^2 - (\sqrt{10})^2 = 18 - 10 = 8$

したがって、

$a = \frac{4(3\sqrt{2} + \sqrt{10})}{8} = \frac{3\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2}$

(2) $a + \frac{2}{a}$ の値を求める。まず $\frac{2}{a}$ を計算する。

$\frac{2}{a} = \frac{2}{\frac{3\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2}} = \frac{4}{3\sqrt{2} + \sqrt{10}}$

分母を有理化する。分母の共役な複素数 $3\sqrt{2} - \sqrt{10}$ を分子と分母に掛ける。

$\frac{2}{a} = \frac{4(3\sqrt{2} - \sqrt{10})}{(3\sqrt{2} + \sqrt{10})(3\sqrt{2} - \sqrt{10})} = \frac{4(3\sqrt{2} - \sqrt{10})}{8} = \frac{3\sqrt{2} - \sqrt{10}}{2}$

$a + \frac{2}{a} = \frac{3\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2} + \frac{3\sqrt{2} - \sqrt{10}}{2} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$

次に、$a^2 + \frac{4}{a^2}$ の値を求める。

$(a + \frac{2}{a})^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot \frac{2}{a} + \frac{4}{a^2} = a^2 + 4 + \frac{4}{a^2}$

したがって、

$a^2 + \frac{4}{a^2} = (a + \frac{2}{a})^2 - 4$

$a + \frac{2}{a} = 3\sqrt{2}$ なので、

$a^2 + \frac{4}{a^2} = (3\sqrt{2})^2 - 4 = 18 - 4 = 14$

3. 最終的な答え

(1) $a = \frac{3\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2}$

(2) $a + \frac{2}{a} = 3\sqrt{2}$, $a^2 + \frac{4}{a^2} = 14$