(1) 初項96、公比1/2、項数5の等比数列の和Sを求める。 (2) 等比数列 9, 6, 4, 8/3,... の初項から第n項までの和 $S_n$ を求める。 (3) $\sum_{k=1}^{15} k^2$ を計算する。

1. 問題の内容

(1) 初項96、公比1/2、項数5の等比数列の和Sを求める。

(2) 等比数列 9, 6, 4, 8/3,... の初項から第n項までの和 $S_n$ を求める。

(3) $\sum_{k=1}^{15} k^2$ を計算する。

2. 解き方の手順

(1) 等比数列の和の公式 $S = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$ を用いる。

ここで、$a = 96$, $r = \frac{1}{2}$, $n = 5$ である。

$S = \frac{96(1 - (\frac{1}{2})^5)}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{96(1 - \frac{1}{32})}{\frac{1}{2}} = 96 \cdot \frac{31}{32} \cdot 2 = 3 \cdot 31 \cdot 2 = 186$

(2) 等比数列の和の公式 $S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$ を用いる。

ここで、$a = 9$, $r = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$ である。

$S_n = \frac{9(1 - (\frac{2}{3})^n)}{1 - \frac{2}{3}} = \frac{9(1 - (\frac{2}{3})^n)}{\frac{1}{3}} = 9 \cdot 3 \cdot (1 - (\frac{2}{3})^n) = 27(1 - (\frac{2}{3})^n)$

(3) $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ の公式を使う。

$n = 15$ なので

$\sum_{k=1}^{15} k^2 = \frac{15(15+1)(2 \cdot 15+1)}{6} = \frac{15 \cdot 16 \cdot 31}{6} = \frac{15 \cdot 8 \cdot 31}{3} = 5 \cdot 8 \cdot 31 = 40 \cdot 31 = 1240$

3. 最終的な答え

(1) 186

(2) $27(1 - (\frac{2}{3})^n)$

(3) 1240