与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 2 & 2 \\ 0 & 2 & 6 & 0 \\ 1 & 1 & 4 & -2 \end{pmatrix}$ について、以下の問いに答える。 (a) 列の数 $n$ を答えよ。 (b) 行の数 $m$ を答えよ。 (c) rank $A$ を求めよ。 (d) (a)から(c)を用いて、逆行列が存在するかしないかを判定せよ。 (e) 逆行列が存在する場合は、逆行列を求めよ。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 2 & 2 \\ 0 & 2 & 6 & 0 \\ 1 & 1 & 4 & -2 \end{pmatrix}$ について、以下の問いに答える。

(a) 列の数 $n$ を答えよ。

(b) 行の数 $m$ を答えよ。

(c) rank $A$ を求めよ。

(d) (a)から(c)を用いて、逆行列が存在するかしないかを判定せよ。

(e) 逆行列が存在する場合は、逆行列を求めよ。

2. 解き方の手順

(a) 列の数 $n$ は、行列 $A$ の横方向の要素の数である。行列 $A$ は4つの列を持つので、$n=4$ である。

(b) 行の数 $m$ は、行列 $A$ の縦方向の要素の数である。行列 $A$ は3つの行を持つので、$m=3$ である。

(c) rank $A$ を求める。行列 $A$ を簡約化する。

まず、1行目に1を加えることで3行1列目を0にする。

$\begin{pmatrix} -1 & 1 & 2 & 2 \\ 0 & 2 & 6 & 0 \\ 0 & 2 & 6 & 0 \end{pmatrix}$

次に、3行目から2行目を引く。

$\begin{pmatrix} -1 & 1 & 2 & 2 \\ 0 & 2 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

さらに、1行目を-1倍する。

$\begin{pmatrix} 1 & -1 & -2 & -2 \\ 0 & 2 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

最後に、2行目を1/2倍する。

$\begin{pmatrix} 1 & -1 & -2 & -2 \\ 0 & 1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

簡約化された行列は2つの非ゼロ行を持つので、rank $A = 2$ である。

(d) 行列 $A$ は正方行列ではない ($n \neq m$)ため、逆行列は存在しない。

(e) 逆行列は存在しない。

3. 最終的な答え

(a) $n=4$

(b) $m=3$

(c) rank $A = 2$

(d) 逆行列は存在しない。

(e) 逆行列は存在しない。