(3) $\sum_{k=1}^{n} k(2k-1)$ (4) $1^2 + 3^2 + 5^2 + \dots + (2n-1)^2$ (5) $\sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{3^k}$

1. 問題の内容

(3) $\sum_{k=1}^{n} k(2k-1)$

(4) $1^2 + 3^2 + 5^2 + \dots + (2n-1)^2$

(5) $\sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{3^k}$

2. 解き方の手順

(3) $\sum_{k=1}^{n} k(2k-1)$ を計算します。まず、展開して

$\sum_{k=1}^{n} (2k^2 - k)$ となります。

$\sum$ の性質から、

$2\sum_{k=1}^{n} k^2 - \sum_{k=1}^{n} k$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

これらを代入して、

$2 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{3} - \frac{n(n+1)}{2}$

$=\frac{2n(n+1)(2n+1) - 3n(n+1)}{6} = \frac{n(n+1)(4n+2-3)}{6} = \frac{n(n+1)(4n-1)}{6}$

(4) $1^2 + 3^2 + 5^2 + \dots + (2n-1)^2$ を計算します。

この数列は奇数の二乗の和であり、$\sum_{k=1}^{n} (2k-1)^2$ と表すことができます。

展開すると、$\sum_{k=1}^{n} (4k^2 - 4k + 1)$ となります。

$\sum$ の性質から、

$4\sum_{k=1}^{n} k^2 - 4\sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 1$

$= 4 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 4 \cdot \frac{n(n+1)}{2} + n$

$= \frac{2n(n+1)(2n+1)}{3} - 2n(n+1) + n = \frac{2n(n+1)(2n+1) - 6n(n+1) + 3n}{3}$

$= \frac{n(2(n+1)(2n+1) - 6(n+1) + 3)}{3} = \frac{n(2(2n^2+3n+1)-6n-6+3)}{3} = \frac{n(4n^2+6n+2-6n-3)}{3}$

$= \frac{n(4n^2-1)}{3} = \frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}$

(5) $\sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{3^k}$ を計算します。

これは初項 $1/3$, 公比 $1/3$, 項数 $n-1$ の等比数列の和です。

$\sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{3^k} = \frac{\frac{1}{3}(1 - (\frac{1}{3})^{n-1})}{1-\frac{1}{3}} = \frac{\frac{1}{3}(1 - (\frac{1}{3})^{n-1})}{\frac{2}{3}} = \frac{1}{2}(1 - (\frac{1}{3})^{n-1}) = \frac{1}{2}(1 - \frac{1}{3^{n-1}}) = \frac{1}{2}(1 - \frac{1}{3^{n-1}})$

3. 最終的な答え

(3) $\frac{n(n+1)(4n-1)}{6}$

(4) $\frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}$

(5) $\frac{1}{2}(1 - \frac{1}{3^{n-1}})$