$0 \le x < 2\pi$ のとき、次の方程式を解く問題です。 $2\cos2x + 4\cos x - 1 = 0$

1. 問題の内容

$0 \le x < 2\pi$ のとき、次の方程式を解く問題です。

$2\cos2x + 4\cos x - 1 = 0$

2. 解き方の手順

$\cos2x = 2\cos^2x - 1$ を用いて、与えられた方程式を $\cos x$ の式に書き換えます。

$2(2\cos^2x - 1) + 4\cos x - 1 = 0$

整理すると

$4\cos^2x + 4\cos x - 3 = 0$

ここで、$t = \cos x$ とおくと、

$4t^2 + 4t - 3 = 0$

この二次方程式を解きます。

$(2t - 1)(2t + 3) = 0$

したがって、$t = \frac{1}{2}$ または $t = -\frac{3}{2}$ となります。

$t = \cos x$ なので、

$\cos x = \frac{1}{2}$ または $\cos x = -\frac{3}{2}$

$-1 \le \cos x \le 1$ より、$\cos x = -\frac{3}{2}$ は解なし。

$\cos x = \frac{1}{2}$ を満たす $0 \le x < 2\pi$ の範囲の $x$ を求めます。

$\cos x = \frac{1}{2}$ となる $x$ は $x = \frac{\pi}{3}$ および $x = 2\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{3}$ です。

3. 最終的な答え

$x = \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$