与えられた問題は、以下の2つの和を計算するものです。 (1) $\sum_{k=1}^{15} k^2$ (2) $\sum_{k=1}^{n} (5-2k)$代数学シグマ数列級数計算2025/7/3はい、承知しました。与えられた問題について、以下の通り解答します。1. 問題の内容与えられた問題は、以下の2つの和を計算するものです。(1) ∑k=115k2\sum_{k=1}^{15} k^2∑k=115k2(2) ∑k=1n(5−2k)\sum_{k=1}^{n} (5-2k)∑k=1n(5−2k)2. 解き方の手順(1) ∑k=115k2\sum_{k=1}^{15} k^2∑k=115k2 の計算k2k^2k2 の和の公式は、以下の通りです。∑k=1nk2=n(n+1)(2n+1)6\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}∑k=1nk2=6n(n+1)(2n+1)この公式に n=15n=15n=15 を代入します。∑k=115k2=15(15+1)(2×15+1)6=15×16×316=15×16×316=5×8×31=40×31=1240\sum_{k=1}^{15} k^2 = \frac{15(15+1)(2\times15+1)}{6} = \frac{15 \times 16 \times 31}{6} = \frac{15 \times 16 \times 31}{6} = 5 \times 8 \times 31 = 40 \times 31 = 1240∑k=115k2=615(15+1)(2×15+1)=615×16×31=615×16×31=5×8×31=40×31=1240(2) ∑k=1n(5−2k)\sum_{k=1}^{n} (5-2k)∑k=1n(5−2k) の計算∑k=1n(5−2k)=∑k=1n5−∑k=1n2k=5∑k=1n1−2∑k=1nk\sum_{k=1}^{n} (5-2k) = \sum_{k=1}^{n} 5 - \sum_{k=1}^{n} 2k = 5\sum_{k=1}^{n} 1 - 2\sum_{k=1}^{n} k∑k=1n(5−2k)=∑k=1n5−∑k=1n2k=5∑k=1n1−2∑k=1nk∑k=1n1=n\sum_{k=1}^{n} 1 = n∑k=1n1=n∑k=1nk=n(n+1)2\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}∑k=1nk=2n(n+1)∑k=1n(5−2k)=5n−2×n(n+1)2=5n−n(n+1)=5n−n2−n=4n−n2=n(4−n)\sum_{k=1}^{n} (5-2k) = 5n - 2 \times \frac{n(n+1)}{2} = 5n - n(n+1) = 5n - n^2 - n = 4n - n^2 = n(4-n)∑k=1n(5−2k)=5n−2×2n(n+1)=5n−n(n+1)=5n−n2−n=4n−n2=n(4−n)3. 最終的な答え(1) ∑k=115k2=1240\sum_{k=1}^{15} k^2 = 1240∑k=115k2=1240(2) ∑k=1n(5−2k)=n(4−n)\sum_{k=1}^{n} (5-2k) = n(4-n)∑k=1n(5−2k)=n(4−n)