与えられた問題は、以下の2つの和を計算するものです。 (1) $\sum_{k=1}^{15} k^2$ (2) $\sum_{k=1}^{n} (5-2k)$

代数学シグマ数列級数計算
2025/7/3
はい、承知しました。与えられた問題について、以下の通り解答します。

1. 問題の内容

与えられた問題は、以下の2つの和を計算するものです。
(1) k=115k2\sum_{k=1}^{15} k^2
(2) k=1n(52k)\sum_{k=1}^{n} (5-2k)

2. 解き方の手順

(1) k=115k2\sum_{k=1}^{15} k^2 の計算
k2k^2 の和の公式は、以下の通りです。
k=1nk2=n(n+1)(2n+1)6\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
この公式に n=15n=15 を代入します。
k=115k2=15(15+1)(2×15+1)6=15×16×316=15×16×316=5×8×31=40×31=1240\sum_{k=1}^{15} k^2 = \frac{15(15+1)(2\times15+1)}{6} = \frac{15 \times 16 \times 31}{6} = \frac{15 \times 16 \times 31}{6} = 5 \times 8 \times 31 = 40 \times 31 = 1240
(2) k=1n(52k)\sum_{k=1}^{n} (5-2k) の計算
k=1n(52k)=k=1n5k=1n2k=5k=1n12k=1nk\sum_{k=1}^{n} (5-2k) = \sum_{k=1}^{n} 5 - \sum_{k=1}^{n} 2k = 5\sum_{k=1}^{n} 1 - 2\sum_{k=1}^{n} k
k=1n1=n\sum_{k=1}^{n} 1 = n
k=1nk=n(n+1)2\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}
k=1n(52k)=5n2×n(n+1)2=5nn(n+1)=5nn2n=4nn2=n(4n)\sum_{k=1}^{n} (5-2k) = 5n - 2 \times \frac{n(n+1)}{2} = 5n - n(n+1) = 5n - n^2 - n = 4n - n^2 = n(4-n)

3. 最終的な答え

(1) k=115k2=1240\sum_{k=1}^{15} k^2 = 1240
(2) k=1n(52k)=n(4n)\sum_{k=1}^{n} (5-2k) = n(4-n)

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