与えられた式 $\frac{\sqrt{5}}{2 - \sqrt{3}}$ を有理化して簡単にします。

1. 問題の内容

与えられた式 $\frac{\sqrt{5}}{2 - \sqrt{3}}$ を有理化して簡単にします。

2. 解き方の手順

分母を有理化するために、分母の共役な複素数 $2 + \sqrt{3}$ を分子と分母の両方に掛けます。

$\frac{\sqrt{5}}{2 - \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{5}}{2 - \sqrt{3}} \cdot \frac{2 + \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}}$

$= \frac{\sqrt{5}(2 + \sqrt{3})}{(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})}$

分母は $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$ の形なので、計算すると

$(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3}) = 2^2 - (\sqrt{3})^2 = 4 - 3 = 1$

したがって、式は次のようになります。

$\frac{\sqrt{5}(2 + \sqrt{3})}{1} = 2\sqrt{5} + \sqrt{5}\sqrt{3} = 2\sqrt{5} + \sqrt{15}$

3. 最終的な答え

$2\sqrt{5} + \sqrt{15}$