数列の初項から第 n 項までの和 $S_n$ が与えられたときに、一般項 $a_n$ を求めます。 (1) $S_n = n^2 - n + 1$ (2) $S_n = n^3 - n + 2$ (3) $S_n = 4^n + 2n$

はい、承知いたしました。問題 8 を解いていきましょう。

1. 問題の内容

数列の初項から第 n 項までの和 $S_n$ が与えられたときに、一般項 $a_n$ を求めます。

(1) $S_n = n^2 - n + 1$

(2) $S_n = n^3 - n + 2$

(3) $S_n = 4^n + 2n$

2. 解き方の手順

一般項 $a_n$ は、和 $S_n$ を用いて次のように計算できます。

$n \geq 2$ のとき：

$a_n = S_n - S_{n-1}$

$n = 1$ のとき：

$a_1 = S_1$

(1) $S_n = n^2 - n + 1$ の場合：

$n \geq 2$ のとき、

$a_n = S_n - S_{n-1} = (n^2 - n + 1) - ((n-1)^2 - (n-1) + 1)$

$= n^2 - n + 1 - (n^2 - 2n + 1 - n + 1 + 1)$

$= n^2 - n + 1 - (n^2 - 3n + 3)$

$= 2n - 2$

$n = 1$ のとき、

$a_1 = S_1 = 1^2 - 1 + 1 = 1$

$a_n = 2n - 2$ に $n = 1$ を代入すると $2(1) - 2 = 0$ となり、 $a_1 = 1$ と一致しないため、場合分けが必要です。

(2) $S_n = n^3 - n + 2$ の場合：

$n \geq 2$ のとき、

$a_n = S_n - S_{n-1} = (n^3 - n + 2) - ((n-1)^3 - (n-1) + 2)$

$= n^3 - n + 2 - (n^3 - 3n^2 + 3n - 1 - n + 1 + 2)$

$= n^3 - n + 2 - (n^3 - 3n^2 + 2n + 2)$

$= 3n^2 - 3n$

$n = 1$ のとき、

$a_1 = S_1 = 1^3 - 1 + 2 = 2$

$a_n = 3n^2 - 3n$ に $n = 1$ を代入すると $3(1)^2 - 3(1) = 0$ となり、$a_1 = 2$ と一致しないため、場合分けが必要です。

(3) $S_n = 4^n + 2n$ の場合：

$n \geq 2$ のとき、

$a_n = S_n - S_{n-1} = (4^n + 2n) - (4^{n-1} + 2(n-1))$

$= 4^n + 2n - 4^{n-1} - 2n + 2$

$= 4^n - 4^{n-1} + 2$

$= 4^{n-1}(4-1) + 2$

$= 3 \cdot 4^{n-1} + 2$

$n = 1$ のとき、

$a_1 = S_1 = 4^1 + 2(1) = 4 + 2 = 6$

$a_n = 3 \cdot 4^{n-1} + 2$ に $n = 1$ を代入すると $3 \cdot 4^0 + 2 = 3 + 2 = 5$ となり、$a_1 = 6$ と一致しないため、場合分けが必要です。

3. 最終的な答え

(1)

$a_1 = 1$

$a_n = 2n - 2 \quad (n \geq 2)$

(2)

$a_1 = 2$

$a_n = 3n^2 - 3n \quad (n \geq 2)$

(3)

$a_1 = 6$

$a_n = 3 \cdot 4^{n-1} + 2 \quad (n \geq 2)$