この問題は、次の2つの等式を導くことを求めています。 (1) ${}_nC_0 + 3 {}_nC_1 + 3^2 {}_nC_2 + \dots + 3^n {}_nC_n = 4^n$ (2) ${}_nC_0 - \frac{{}_nC_1}{2} + \frac{{}_nC_2}{2^2} - \dots + (-1)^n \frac{{}_nC_n}{2^n} = (\frac{1}{2})^n$

1. 問題の内容

この問題は、次の2つの等式を導くことを求めています。

(1) ${}_nC_0 + 3 {}_nC_1 + 3^2 {}_nC_2 + \dots + 3^n {}_nC_n = 4^n$

(2) ${}_nC_0 - \frac{{}_nC_1}{2} + \frac{{}_nC_2}{2^2} - \dots + (-1)^n \frac{{}_nC_n}{2^n} = (\frac{1}{2})^n$

2. 解き方の手順

(1) 二項定理を利用します。二項定理は、任意の実数 $x$ と自然数 $n$ に対して、次のように表されます。

$(1 + x)^n = {}_nC_0 + {}_nC_1 x + {}_nC_2 x^2 + \dots + {}_nC_n x^n$

この式に $x = 3$ を代入すると、

$(1 + 3)^n = {}_nC_0 + {}_nC_1 (3) + {}_nC_2 (3)^2 + \dots + {}_nC_n (3)^n$

$4^n = {}_nC_0 + 3 {}_nC_1 + 3^2 {}_nC_2 + \dots + 3^n {}_nC_n$

よって、等式(1)が導かれました。

(2) 二項定理を再び利用します。今度は、$x = -\frac{1}{2}$ を代入します。

$(1 + (-\frac{1}{2}))^n = {}_nC_0 + {}_nC_1 (-\frac{1}{2}) + {}_nC_2 (-\frac{1}{2})^2 + \dots + {}_nC_n (-\frac{1}{2})^n$

$(\frac{1}{2})^n = {}_nC_0 - \frac{{}_nC_1}{2} + \frac{{}_nC_2}{2^2} - \dots + (-1)^n \frac{{}_nC_n}{2^n}$

よって、等式(2)が導かれました。

3. 最終的な答え

(1) ${}_nC_0 + 3 {}_nC_1 + 3^2 {}_nC_2 + \dots + 3^n {}_nC_n = 4^n$

(2) ${}_nC_0 - \frac{{}_nC_1}{2} + \frac{{}_nC_2}{2^2} - \dots + (-1)^n \frac{{}_nC_n}{2^n} = (\frac{1}{2})^n$