与えられた5x5行列の行列式を計算する問題です。行列は以下の通りです。 $ \begin{vmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 2 & 0 & 0 & 5 \\ 0 & 13 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & -6 & 1 & 2 & 2 \\ 8 & 1 & 2 & 3 & 4 \end{vmatrix} $

1. 問題の内容

与えられた5x5行列の行列式を計算する問題です。行列は以下の通りです。

$ \begin{vmatrix}

0 & 0 & 0 & 0 & 3 \\

0 & 2 & 0 & 0 & 5 \\

0 & 13 & -2 & 0 & -4 \\

0 & -6 & 1 & 2 & 2 \\

8 & 1 & 2 & 3 & 4

\end{vmatrix} $

2. 解き方の手順

行列式を計算するために、まず第1列に沿って展開します。

$\begin{vmatrix}

0 & 0 & 0 & 0 & 3 \\

0 & 2 & 0 & 0 & 5 \\

0 & 13 & -2 & 0 & -4 \\

0 & -6 & 1 & 2 & 2 \\

8 & 1 & 2 & 3 & 4

\end{vmatrix} = 0 \cdot C_{11} + 0 \cdot C_{21} + 0 \cdot C_{31} + 0 \cdot C_{41} + 8 \cdot C_{51}$

ここで、$C_{ij}$は(i, j)成分に関する余因子です。したがって、

$\begin{vmatrix}

0 & 0 & 0 & 0 & 3 \\

0 & 2 & 0 & 0 & 5 \\

0 & 13 & -2 & 0 & -4 \\

0 & -6 & 1 & 2 & 2 \\

8 & 1 & 2 & 3 & 4

\end{vmatrix} = 8 \cdot (-1)^{5+1} \begin{vmatrix}

0 & 0 & 0 & 3 \\

2 & 0 & 0 & 5 \\

13 & -2 & 0 & -4 \\

-6 & 1 & 2 & 2

\end{vmatrix} = 8 \cdot \begin{vmatrix}

0 & 0 & 0 & 3 \\

2 & 0 & 0 & 5 \\

13 & -2 & 0 & -4 \\

-6 & 1 & 2 & 2

\end{vmatrix}$

次に、この4x4行列の行列式を第3列に沿って展開します。

$8 \cdot \begin{vmatrix}

0 & 0 & 0 & 3 \\

2 & 0 & 0 & 5 \\

13 & -2 & 0 & -4 \\

-6 & 1 & 2 & 2

\end{vmatrix} = 8 \cdot (0 \cdot C_{13} + 0 \cdot C_{23} + 0 \cdot C_{33} + 2 \cdot C_{43}) = 8 \cdot 2 \cdot (-1)^{4+3} \begin{vmatrix}

0 & 0 & 3 \\

2 & 0 & 5 \\

13 & -2 & -4

\end{vmatrix}$

$ = -16 \cdot \begin{vmatrix}

0 & 0 & 3 \\

2 & 0 & 5 \\

13 & -2 & -4

\end{vmatrix}$

さらに、この3x3行列の行列式を第1行に沿って展開します。

$ -16 \cdot \begin{vmatrix}

0 & 0 & 3 \\

2 & 0 & 5 \\

13 & -2 & -4

\end{vmatrix} = -16 \cdot (0 \cdot C_{11} + 0 \cdot C_{12} + 3 \cdot C_{13}) = -16 \cdot 3 \cdot (-1)^{1+3} \begin{vmatrix}

2 & 0 \\

13 & -2

\end{vmatrix}$

$ = -48 \cdot \begin{vmatrix}

2 & 0 \\

13 & -2

\end{vmatrix} = -48 \cdot (2 \cdot (-2) - 0 \cdot 13) = -48 \cdot (-4) = 192$

3. 最終的な答え

192