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与えられた5x5行列の行列式を計算する問題です。 $ \begin{vmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 2 & 0 & 0 & 5 \\ 0 & 13 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & -6 & 1 & 2 & 2 \\ 8 & 1 & 2 & 3 & 4 \end{vmatrix} $

代数学行列行列式余因子展開線形代数
2025/7/3
## 問題 (8) の解答

1. 問題の内容

与えられた5x5行列の行列式を計算する問題です。
\begin{vmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 & 3 \\
0 & 2 & 0 & 0 & 5 \\
0 & 13 & -2 & 0 & -4 \\
0 & -6 & 1 & 2 & 2 \\
8 & 1 & 2 & 3 & 4
\end{vmatrix}

2. 解き方の手順

行列式を計算するために、まず1列目で余因子展開を行います。
\begin{vmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 & 3 \\
0 & 2 & 0 & 0 & 5 \\
0 & 13 & -2 & 0 & -4 \\
0 & -6 & 1 & 2 & 2 \\
8 & 1 & 2 & 3 & 4
\end{vmatrix}
= 0 \cdot C_{11} + 0 \cdot C_{21} + 0 \cdot C_{31} + 0 \cdot C_{41} + 8 \cdot C_{51} = 8 \cdot C_{51}
ここで、C51C_{51} は (5,1) 成分の余因子であり、
C_{51} = (-1)^{5+1} \begin{vmatrix}
0 & 0 & 0 & 3 \\
2 & 0 & 0 & 5 \\
13 & -2 & 0 & -4 \\
-6 & 1 & 2 & 2
\end{vmatrix}
= \begin{vmatrix}
0 & 0 & 0 & 3 \\
2 & 0 & 0 & 5 \\
13 & -2 & 0 & -4 \\
-6 & 1 & 2 & 2
\end{vmatrix}
さらに1行目で余因子展開を行います。
\begin{vmatrix}
0 & 0 & 0 & 3 \\
2 & 0 & 0 & 5 \\
13 & -2 & 0 & -4 \\
-6 & 1 & 2 & 2
\end{vmatrix}
= 0 \cdot C_{11} + 0 \cdot C_{12} + 0 \cdot C_{13} + 3 \cdot C_{14} = 3 \cdot C_{14}
ここで、C14C_{14} は (1,4) 成分の余因子であり、
C_{14} = (-1)^{1+4} \begin{vmatrix}
2 & 0 & 0 \\
13 & -2 & 0 \\
-6 & 1 & 2
\end{vmatrix}
= - \begin{vmatrix}
2 & 0 & 0 \\
13 & -2 & 0 \\
-6 & 1 & 2
\end{vmatrix}
これは下三角行列なので、行列式は対角成分の積で計算できます。
- \begin{vmatrix}
2 & 0 & 0 \\
13 & -2 & 0 \\
-6 & 1 & 2
\end{vmatrix} = -(2 \cdot (-2) \cdot 2) = -(-8) = 8
したがって、
\begin{vmatrix}
0 & 0 & 0 & 3 \\
2 & 0 & 0 & 5 \\
13 & -2 & 0 & -4 \\
-6 & 1 & 2 & 2
\end{vmatrix} = 3 \cdot 8 = 24
よって、元の行列式は
\begin{vmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 & 3 \\
0 & 2 & 0 & 0 & 5 \\
0 & 13 & -2 & 0 & -4 \\
0 & -6 & 1 & 2 & 2 \\
8 & 1 & 2 & 3 & 4
\end{vmatrix}
= 8 \cdot 24 = 192

3. 最終的な答え

192
## 問題 (10) の解答

1. 問題の内容

与えられたn次行列の行列式を計算する問題です。この行列は、反転した単位行列です。
\begin{vmatrix}
0 & 0 & \cdots & 0 & 1 \\
0 & 0 & \cdots & 1 & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
0 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\
1 & 0 & \cdots & 0 & 0
\end{vmatrix}

2. 解き方の手順

この行列は、単位行列の行を入れ替えることで得られます。具体的には、n回の行の入れ替えが必要です。
n = 1 のとき、行列は [1] で、行列式は 1 です。
n = 2 のとき、行列は ∣0110∣\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} で、行列式は -1 です。
n = 3 のとき、行列は ∣001010100∣\begin{vmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{vmatrix} で、行列式は 1 です。
n = 4 のとき、行列は ∣0001001001001000∣\begin{vmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{vmatrix} で、行列式は -1 です。
一般に、この行列式は (−1)n(n−1)/2(-1)^{n(n-1)/2} で与えられます。
これは、隣接する行の入れ替えを必要な回数だけ行い、単位行列にする操作に対応します。必要な行の入れ替え回数は、n(n−1)/2n(n-1)/2 です。行の入れ替え一回につき、行列式は -1 倍になります。

3. 最終的な答え

(−1)n(n−1)2(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}

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