与えられた無限等比級数 $1 - \frac{x-1}{3} + \frac{(x-1)^2}{9} - \frac{(x-1)^3}{27} + \cdots$ が収束するような実数 $x$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

与えられた無限等比級数

$1 - \frac{x-1}{3} + \frac{(x-1)^2}{9} - \frac{(x-1)^3}{27} + \cdots$

が収束するような実数 $x$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

この無限等比級数の初項は $a = 1$ であり、公比は $r = -\frac{x-1}{3}$ である。

無限等比級数が収束するための必要十分条件は、$|r| < 1$ である。

したがって、

$|-\frac{x-1}{3}| < 1$

$\frac{|x-1|}{3} < 1$

$|x-1| < 3$

$-3 < x-1 < 3$

$-3+1 < x < 3+1$

$-2 < x < 4$

3. 最終的な答え

$-2 < x < 4$