2直線 $ax + 4y - 1 = 0$ と $x + (a-3)y - 2 = 0$ が与えられている。この2直線が平行になるような定数 $a$ の値を求め、また、垂直になるような定数 $a$ の値を求める。

1. 問題の内容

2直線 $ax + 4y - 1 = 0$ と $x + (a-3)y - 2 = 0$ が与えられている。この2直線が平行になるような定数 $a$ の値を求め、また、垂直になるような定数 $a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 平行になる場合

2直線 $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ と $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ が平行であるための条件は、

$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ である。

与えられた2直線について考えると、

$\frac{a}{1} = \frac{4}{a-3}$

これを解くと、

$a(a-3) = 4$

$a^2 - 3a - 4 = 0$

$(a-4)(a+1) = 0$

$a = 4, -1$

$a = 4$ のとき、$\frac{a}{1} = 4$, $\frac{4}{a-3} = \frac{4}{1} = 4$, $\frac{-1}{-2} = \frac{1}{2}$ より、$\frac{a}{1} \neq \frac{-1}{-2}$ であるから平行条件を満たす。

$a = -1$ のとき、$\frac{a}{1} = -1$, $\frac{4}{a-3} = \frac{4}{-4} = -1$, $\frac{-1}{-2} = \frac{1}{2}$ より、$\frac{a}{1} \neq \frac{-1}{-2}$ であるから平行条件を満たす。

したがって、$a = 4$ および $a = -1$ は平行条件を満たす。

(2) 垂直になる場合

2直線 $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ と $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ が垂直であるための条件は、$a_1a_2 + b_1b_2 = 0$ である。

与えられた2直線について考えると、

$a(1) + 4(a-3) = 0$

$a + 4a - 12 = 0$

$5a = 12$

$a = \frac{12}{5}$

3. 最終的な答え

平行になるような $a$ の値: $a = 4, -1$

垂直になるような $a$ の値: $a = \frac{12}{5}$