問題は3つあります。 * 問題1: 集合 $\{1, ..., n\}$ の置換のうち、符号が負のものはいくつあるか。 * 問題2: アミダクジは置換を与える。アミダクジの横棒の本数の偶奇は、それが与える置換の逆転数の偶奇と一致することを示せ。 * 問題3: 実数 $\beta$ に対して、$f(0)=0, f(1)=0, f(2)=0, f(3)=\beta$ を満たす3次以下の多項式 $f(x)$ がただ一つ存在する。$f(x)$ が整数係数となるための $\beta$ についての必要十分条件を求めよ。

1. 問題の内容

問題は3つあります。

* 問題1: 集合 $\{1, ..., n\}$ の置換のうち、符号が負のものはいくつあるか。

* 問題2: アミダクジは置換を与える。アミダクジの横棒の本数の偶奇は、それが与える置換の逆転数の偶奇と一致することを示せ。

* 問題3: 実数 $\beta$ に対して、$f(0)=0, f(1)=0, f(2)=0, f(3)=\beta$ を満たす3次以下の多項式 $f(x)$ がただ一つ存在する。$f(x)$ が整数係数となるための $\beta$ についての必要十分条件を求めよ。

2. 解き方の手順

* 問題1:

* $n$ 個の要素の置換は全部で $n!$ 個存在する。

* 置換の符号が正のものと負のものは同数存在する。

* したがって、符号が負の置換の数は $\frac{n!}{2}$ である。

* 問題2:

* アミダクジの横棒1本は隣接する2つの要素の互換に対応する。

* 互換の符号は負である。

* アミダクジの横棒の本数が $k$ 本なら、対応する置換の符号は $(-1)^k$ である。

* 置換の逆転数の偶奇と符号の偶奇は一致する。

* したがって、アミダクジの横棒の本数の偶奇は、それが与える置換の逆転数の偶奇と一致する。

* 問題3:

* $f(0) = f(1) = f(2) = 0$ より、$f(x) = ax(x-1)(x-2)$ と表せる。

* $f(3) = \beta$ より、$f(3) = a(3)(3-1)(3-2) = 6a = \beta$ である。よって、$a = \frac{\beta}{6}$。

* したがって、$f(x) = \frac{\beta}{6}x(x-1)(x-2) = \frac{\beta}{6}(x^3 - 3x^2 + 2x)$。

* $f(x)$ が整数係数となるための必要十分条件は、$\frac{\beta}{6}$ が整数であることである。

* つまり、$\beta$ が6の倍数であることである。

3. 最終的な答え

* 問題1: $\frac{n!}{2}$

* 問題2: アミダクジの横棒の本数の偶奇は、それが与える置換の逆転数の偶奇と一致する。（証明は上記の通り）

* 問題3: $\beta$ が6の倍数であること。