$\sum_{k=1}^{n} 2 \cdot 5^{k-1}$ を計算してください。

1. 問題の内容

$\sum_{k=1}^{n} 2 \cdot 5^{k-1}$ を計算してください。

2. 解き方の手順

与えられた式は等比数列の和です。

初項を$a$、公比を$r$、項数を$n$とすると、等比数列の和$S_n$は次の式で表されます。

$S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$

与えられた式において、

$k=1$のとき、$2 \cdot 5^{1-1} = 2 \cdot 5^0 = 2 \cdot 1 = 2$

よって、初項$a = 2$です。

$k$が1増えるごとに$5^{k-1}$に5が掛けられるので、公比$r = 5$です。

項数は$n$です。

したがって、等比数列の和の公式に代入すると、

$S_n = \frac{2(5^n - 1)}{5 - 1} = \frac{2(5^n - 1)}{4} = \frac{5^n - 1}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{5^n - 1}{2}$