ある高校の1年生全員が長椅子に座るとき、1脚に6人ずつ座ると15人が座れなくなる。また、1脚に7人ずつ座ると、使わない長椅子が3脚できる。長椅子の数は何脚以上何脚以下か。

1. 問題の内容

ある高校の1年生全員が長椅子に座るとき、1脚に6人ずつ座ると15人が座れなくなる。また、1脚に7人ずつ座ると、使わない長椅子が3脚できる。長椅子の数は何脚以上何脚以下か。

2. 解き方の手順

長椅子の数を $x$ とする。

* 6人ずつ座った場合、座れる人数は $6x$ 人。15人が座れないので、1年生の人数は $6x + 15$ 人。

* 7人ずつ座った場合、使わない長椅子が3脚できるので、実際に人が座っている長椅子の数は最大で $x - 3$ 脚。人が座っている長椅子が最小の場合は、最後の長椅子に1人だけ座っている場合を考える必要があるので、人が座っている長椅子の数は最小で $x - 4$ 脚。

* 最大の場合、座れる人数は $7(x - 3)$ 人以上。よって、 $6x + 15 \le 7(x - 3)$。

* 最小の場合、座れる人数は $7(x - 4) + 1$ 人以下。よって、$6x + 15 \ge 7(x - 4) + 1$。

不等式を解く。

$6x + 15 \le 7(x - 3)$

$6x + 15 \le 7x - 21$

$36 \le x$

$6x + 15 \ge 7(x - 4) + 1$

$6x + 15 \ge 7x - 28 + 1$

$6x + 15 \ge 7x - 27$

$42 \ge x$

したがって、$36 \le x \le 42$

3. 最終的な答え

長椅子の数は36脚以上42脚以下。