与えられた4つの2次式を平方完成する問題です。 (1) $2x^2 - 8x - 3$ (2) $3x^2 + 9x + 4$ (3) $-2x^2 + 4x + 3$ (4) $-2x^2 - 6x + 1$

1. 問題の内容

与えられた4つの2次式を平方完成する問題です。

(1) $2x^2 - 8x - 3$

(2) $3x^2 + 9x + 4$

(3) $-2x^2 + 4x + 3$

(4) $-2x^2 - 6x + 1$

2. 解き方の手順

平方完成の手順は以下の通りです。

(1) $x^2$ の係数で括り出す。

(2) $x$ の係数の半分の2乗を足して引く。

(3) $(x + \text{定数})^2$ の形に変形する。

(4) 定数項を整理する。

(1)

$2x^2 - 8x - 3 = 2(x^2 - 4x) - 3$

$= 2(x^2 - 4x + 4 - 4) - 3$

$= 2((x - 2)^2 - 4) - 3$

$= 2(x - 2)^2 - 8 - 3$

$= 2(x - 2)^2 - 11$

(2)

$3x^2 + 9x + 4 = 3(x^2 + 3x) + 4$

$= 3(x^2 + 3x + \frac{9}{4} - \frac{9}{4}) + 4$

$= 3((x + \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4}) + 4$

$= 3(x + \frac{3}{2})^2 - \frac{27}{4} + 4$

$= 3(x + \frac{3}{2})^2 - \frac{27}{4} + \frac{16}{4}$

$= 3(x + \frac{3}{2})^2 - \frac{11}{4}$

(3)

$-2x^2 + 4x + 3 = -2(x^2 - 2x) + 3$

$= -2(x^2 - 2x + 1 - 1) + 3$

$= -2((x - 1)^2 - 1) + 3$

$= -2(x - 1)^2 + 2 + 3$

$= -2(x - 1)^2 + 5$

(4)

$-2x^2 - 6x + 1 = -2(x^2 + 3x) + 1$

$= -2(x^2 + 3x + \frac{9}{4} - \frac{9}{4}) + 1$

$= -2((x + \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4}) + 1$

$= -2(x + \frac{3}{2})^2 + \frac{9}{2} + 1$

$= -2(x + \frac{3}{2})^2 + \frac{9}{2} + \frac{2}{2}$

$= -2(x + \frac{3}{2})^2 + \frac{11}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $2(x - 2)^2 - 11$

(2) $3(x + \frac{3}{2})^2 - \frac{11}{4}$

(3) $-2(x - 1)^2 + 5$

(4) $-2(x + \frac{3}{2})^2 + \frac{11}{2}$