与えられた4つの2次関数について、グラフを描き、頂点の座標と軸の方程式を求める。 (1) $y = 2x^2 - 4x + 2$ (2) $y = -\frac{1}{2}x^2 + x - 1$ (3) $y = (x - 1)(x - 2)$ (4) $y = (2x - 1)(x + 3)$

1. 問題の内容

与えられた4つの2次関数について、グラフを描き、頂点の座標と軸の方程式を求める。

(1) $y = 2x^2 - 4x + 2$

(2) $y = -\frac{1}{2}x^2 + x - 1$

(3) $y = (x - 1)(x - 2)$

(4) $y = (2x - 1)(x + 3)$

2. 解き方の手順

2次関数の一般形 $y = ax^2 + bx + c$ を平方完成し、$y = a(x - p)^2 + q$ の形に変形する。

このとき、頂点の座標は $(p, q)$ であり、軸の方程式は $x = p$ となる。

(1) $y = 2x^2 - 4x + 2$

$y = 2(x^2 - 2x) + 2$

$y = 2(x^2 - 2x + 1 - 1) + 2$

$y = 2((x - 1)^2 - 1) + 2$

$y = 2(x - 1)^2 - 2 + 2$

$y = 2(x - 1)^2$

頂点は $(1, 0)$、軸は $x = 1$

(2) $y = -\frac{1}{2}x^2 + x - 1$

$y = -\frac{1}{2}(x^2 - 2x) - 1$

$y = -\frac{1}{2}(x^2 - 2x + 1 - 1) - 1$

$y = -\frac{1}{2}((x - 1)^2 - 1) - 1$

$y = -\frac{1}{2}(x - 1)^2 + \frac{1}{2} - 1$

$y = -\frac{1}{2}(x - 1)^2 - \frac{1}{2}$

頂点は $(1, -\frac{1}{2})$、軸は $x = 1$

(3) $y = (x - 1)(x - 2)$

$y = x^2 - 3x + 2$

$y = x^2 - 3x + (\frac{3}{2})^2 - (\frac{3}{2})^2 + 2$

$y = (x - \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4} + 2$

$y = (x - \frac{3}{2})^2 - \frac{1}{4}$

頂点は $(\frac{3}{2}, -\frac{1}{4})$、軸は $x = \frac{3}{2}$

(4) $y = (2x - 1)(x + 3)$

$y = 2x^2 + 6x - x - 3$

$y = 2x^2 + 5x - 3$

$y = 2(x^2 + \frac{5}{2}x) - 3$

$y = 2(x^2 + \frac{5}{2}x + (\frac{5}{4})^2 - (\frac{5}{4})^2) - 3$

$y = 2((x + \frac{5}{4})^2 - \frac{25}{16}) - 3$

$y = 2(x + \frac{5}{4})^2 - \frac{25}{8} - 3$

$y = 2(x + \frac{5}{4})^2 - \frac{49}{8}$

頂点は $(-\frac{5}{4}, -\frac{49}{8})$、軸は $x = -\frac{5}{4}$

3. 最終的な答え

(1) 頂点: $(1, 0)$、軸: $x = 1$

(2) 頂点: $(1, -\frac{1}{2})$、軸: $x = 1$

(3) 頂点: $(\frac{3}{2}, -\frac{1}{4})$、軸: $x = \frac{3}{2}$

(4) 頂点: $(-\frac{5}{4}, -\frac{49}{8})$、軸: $x = -\frac{5}{4}$