問題は、次の3つの数式を解くことです。 (1) $|2x-1|=3x$ (2) $|x+\frac{1}{3}| > 2x+1$ (3) $|x+4|+|x-1|=7$

1. 問題の内容

問題は、次の3つの数式を解くことです。

(1) $|2x-1|=3x$

(2) $|x+\frac{1}{3}| > 2x+1$

(3) $|x+4|+|x-1|=7$

2. 解き方の手順

(1) $|2x-1|=3x$

絶対値の定義から、次の2つの場合に分けて考えます。

(i) $2x-1 \geq 0$、つまり$x \geq \frac{1}{2}$のとき：

$2x-1 = 3x$

$-1 = x$

$x = -1$

しかし、$x \geq \frac{1}{2}$という条件に反するので、この場合は解なし。

(ii) $2x-1 < 0$、つまり$x < \frac{1}{2}$のとき：

$-(2x-1) = 3x$

$-2x+1 = 3x$

$1 = 5x$

$x = \frac{1}{5}$

これは$x < \frac{1}{2}$という条件を満たすので、解として適切。

(2) $|x+\frac{1}{3}| > 2x+1$

絶対値の定義から、次の2つの場合に分けて考えます。

(i) $x+\frac{1}{3} \geq 0$、つまり$x \geq -\frac{1}{3}$のとき：

$x+\frac{1}{3} > 2x+1$

$-\frac{2}{3} > x$

$x < -\frac{2}{3}$

$x \geq -\frac{1}{3}$かつ$x < -\frac{2}{3}$を満たすxは存在しないので、この場合は解なし。

(ii) $x+\frac{1}{3} < 0$、つまり$x < -\frac{1}{3}$のとき：

$-(x+\frac{1}{3}) > 2x+1$

$-x-\frac{1}{3} > 2x+1$

$-\frac{4}{3} > 3x$

$x < -\frac{4}{9}$

$x < -\frac{1}{3}$かつ$x < -\frac{4}{9}$を満たすxの範囲は$x < -\frac{4}{9}$。

(3) $|x+4|+|x-1|=7$

絶対値の中身が0になる点で場合分けします。$x=-4$と$x=1$がその点です。

(i) $x < -4$のとき：

$-(x+4)-(x-1) = 7$

$-x-4-x+1 = 7$

$-2x-3=7$

$-2x=10$

$x=-5$

これは$x < -4$を満たすので解として適切。

(ii) $-4 \leq x < 1$のとき：

$(x+4)-(x-1) = 7$

$x+4-x+1=7$

$5=7$

これは常に偽なので、この範囲に解は存在しない。

(iii) $x \geq 1$のとき：

$(x+4)+(x-1)=7$

$2x+3=7$

$2x=4$

$x=2$

これは$x \geq 1$を満たすので解として適切。

3. 最終的な答え

(1) $x = \frac{1}{5}$

(2) $x < -\frac{4}{9}$

(3) $x = -5, 2$