問題7では、$y = x(x-1)$ と $y = x(1-x)$ のグラフを同じ図に描き、頂点間の垂直距離を求める。問題8では、$y = (x+1)(x-5)$ と $y=(1+x)(5-x)$ のグラフを同じ図に描き、(i) $y = (x+1)(x-5)$ のグラフを左に3単位平行移動したグラフの式と、(ii) $y=(1+x)(5-x)$ のグラフをy軸で反転したグラフの式を求める。

代数学二次関数グラフ平行移動反転頂点
2025/7/3

1. 問題の内容

問題7では、y=x(x1)y = x(x-1)y=x(1x)y = x(1-x) のグラフを同じ図に描き、頂点間の垂直距離を求める。問題8では、y=(x+1)(x5)y = (x+1)(x-5)y=(1+x)(5x)y=(1+x)(5-x) のグラフを同じ図に描き、(i) y=(x+1)(x5)y = (x+1)(x-5) のグラフを左に3単位平行移動したグラフの式と、(ii) y=(1+x)(5x)y=(1+x)(5-x) のグラフをy軸で反転したグラフの式を求める。

2. 解き方の手順

問題7:
(a) y=x(x1)=x2xy = x(x-1) = x^2 - x の頂点を求める。平方完成すると y=(x12)214y = (x - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}となる。頂点は (12,14)(\frac{1}{2}, -\frac{1}{4})である。
(b) y=x(1x)=xx2=x2+xy = x(1-x) = x - x^2 = -x^2 + x の頂点を求める。平方完成すると y=(x12)2+14y = -(x - \frac{1}{2})^2 + \frac{1}{4}となる。頂点は (12,14)(\frac{1}{2}, \frac{1}{4})である。
頂点間の垂直距離は 14(14)=14+14=12|\frac{1}{4} - (-\frac{1}{4})| = |\frac{1}{4} + \frac{1}{4}| = \frac{1}{2}となる。
問題8:
(i) y=(x+1)(x5)y = (x+1)(x-5) のグラフを左に3単位平行移動すると、xxx+3x+3 に置き換える。したがって、y=((x+3)+1)((x+3)5)=(x+4)(x2)y = ((x+3)+1)((x+3)-5) = (x+4)(x-2)となる。
(ii) y=(1+x)(5x)y = (1+x)(5-x) のグラフをy軸で反転すると、xxx-x に置き換える。したがって、y=(1x)(5+x)y = (1-x)(5+x)となる。

3. 最終的な答え

問題7:頂点間の垂直距離は 12\frac{1}{2}
問題8:(i) y=(x+4)(x2)y = (x+4)(x-2) (ii) y=(1x)(5+x)y = (1-x)(5+x)

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