次の3つの問題について、方程式または不等式を解きます。 (1) $|x+4| = 5x$ (2) $|x-1| \le 2x$ (3) $|x+1| + |x-3| = 8$

代数学絶対値方程式不等式場合分け
2025/7/3

1. 問題の内容

次の3つの問題について、方程式または不等式を解きます。
(1) x+4=5x|x+4| = 5x
(2) x12x|x-1| \le 2x
(3) x+1+x3=8|x+1| + |x-3| = 8

2. 解き方の手順

(1) x+4=5x|x+4| = 5x
絶対値記号を外すために場合分けを行います。
(i) x+40x+4 \ge 0、つまり x4x \ge -4 のとき:
x+4=5xx+4 = 5x
4x=44x = 4
x=1x = 1
これは x4x \ge -4 を満たすので解の一つです。
(ii) x+4<0x+4 < 0、つまり x<4x < -4 のとき:
(x+4)=5x-(x+4) = 5x
x4=5x-x - 4 = 5x
6x=46x = -4
x=23x = -\frac{2}{3}
これは x<4x < -4 を満たさないので解ではありません。
(2) x12x|x-1| \le 2x
絶対値記号を外すために場合分けを行います。
(i) x10x-1 \ge 0、つまり x1x \ge 1 のとき:
x12xx-1 \le 2x
1x-1 \le x
これは x1x \ge 1 を満たします。したがって、x1x \ge 1 が解です。
(ii) x1<0x-1 < 0、つまり x<1x < 1 のとき:
(x1)2x-(x-1) \le 2x
x+12x-x + 1 \le 2x
13x1 \le 3x
x13x \ge \frac{1}{3}
これは x<1x < 1 とあわせて 13x<1\frac{1}{3} \le x < 1 を満たします。
(i)と(ii)を合わせると、x13x \ge \frac{1}{3} となります。
(3) x+1+x3=8|x+1| + |x-3| = 8
絶対値記号を外すために場合分けを行います。
(i) x<1x < -1 のとき:
(x+1)(x3)=8-(x+1) - (x-3) = 8
x1x+3=8-x - 1 - x + 3 = 8
2x+2=8-2x + 2 = 8
2x=6-2x = 6
x=3x = -3
これは x<1x < -1 を満たすので解の一つです。
(ii) 1x<3-1 \le x < 3 のとき:
(x+1)(x3)=8(x+1) - (x-3) = 8
x+1x+3=8x + 1 - x + 3 = 8
4=84 = 8
これはありえないので、この範囲に解はありません。
(iii) x3x \ge 3 のとき:
(x+1)+(x3)=8(x+1) + (x-3) = 8
2x2=82x - 2 = 8
2x=102x = 10
x=5x = 5
これは x3x \ge 3 を満たすので解の一つです。

3. 最終的な答え

(1) x=1x = 1
(2) x13x \ge \frac{1}{3}
(3) x=3,5x = -3, 5

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