与えられた二次関数のグラフの概形を描き、以下の二次方程式が実数解を持つかどうか判定し、存在する場合はその解を求めよ。 (i) $x^2 + x = 0$ (ii) $x^2 - x - 6 = 0$ (iii) $2 + x - x^2 = 0$ (iv) $1 - x^2 = 0$ (v) $1 + x^2 = 0$ (vi) $x^2 + 2x + 1 = 0$

問題9についてのみ回答します。

1. 問題の内容

与えられた二次関数のグラフの概形を描き、以下の二次方程式が実数解を持つかどうか判定し、存在する場合はその解を求めよ。

(i) $x^2 + x = 0$

(ii) $x^2 - x - 6 = 0$

(iii) $2 + x - x^2 = 0$

(iv) $1 - x^2 = 0$

(v) $1 + x^2 = 0$

(vi) $x^2 + 2x + 1 = 0$

2. 解き方の手順

まず、与えられた二次方程式が実数解を持つかどうかを判別式を用いて判定する。

二次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の判別式 $D$ は $D = b^2 - 4ac$ で与えられる。

$D > 0$ ならば異なる2つの実数解を持つ。

$D = 0$ ならば重解を持つ。

$D < 0$ ならば実数解を持たない。

実数解が存在する場合、解の公式 $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ を用いて解を求める。

(i) $x^2 + x = 0$ の場合、$a = 1, b = 1, c = 0$ より、

$D = 1^2 - 4(1)(0) = 1 > 0$ なので実数解を持つ。

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1}}{2(1)} = \frac{-1 \pm 1}{2}$

$x = 0, -1$

(ii) $x^2 - x - 6 = 0$ の場合、$a = 1, b = -1, c = -6$ より、

$D = (-1)^2 - 4(1)(-6) = 1 + 24 = 25 > 0$ なので実数解を持つ。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{25}}{2(1)} = \frac{1 \pm 5}{2}$

$x = 3, -2$

(iii) $2 + x - x^2 = 0$ つまり $-x^2 + x + 2 = 0$ の場合、$a = -1, b = 1, c = 2$ より、

$D = 1^2 - 4(-1)(2) = 1 + 8 = 9 > 0$ なので実数解を持つ。

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2(-1)} = \frac{-1 \pm 3}{-2}$

$x = -1, 2$

(iv) $1 - x^2 = 0$ つまり $-x^2 + 1 = 0$ の場合、$a = -1, b = 0, c = 1$ より、

$D = 0^2 - 4(-1)(1) = 4 > 0$ なので実数解を持つ。

$x = \frac{0 \pm \sqrt{4}}{2(-1)} = \frac{\pm 2}{-2}$

$x = -1, 1$

(v) $1 + x^2 = 0$ の場合、$a = 1, b = 0, c = 1$ より、

$D = 0^2 - 4(1)(1) = -4 < 0$ なので実数解を持たない。

(vi) $x^2 + 2x + 1 = 0$ の場合、$a = 1, b = 2, c = 1$ より、

$D = 2^2 - 4(1)(1) = 4 - 4 = 0$ なので重解を持つ。

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{0}}{2(1)} = \frac{-2}{2} = -1$

$x = -1$

3. 最終的な答え

(i) 実数解を持つ。解は $x = 0, -1$

(ii) 実数解を持つ。解は $x = 3, -2$

(iii) 実数解を持つ。解は $x = -1, 2$

(iv) 実数解を持つ。解は $x = -1, 1$

(v) 実数解を持たない。

(vi) 実数解を持つ。解は $x = -1$