$a$ を定数とする。以下の(I)～(III)の連立不等式のうち、解が $x=2$ となるような $a$ の値が存在するものをすべて選び、そのときの $a$ の値を求めよ。 (I) $\begin{cases} 6x-1 \ge x+9 \\ x-a \le 2x+1 \end{cases}$ (II) $\begin{cases} 6x-1 \ge x+9 \\ x-a \ge 2x+1 \end{cases}$ (III) $\begin{cases} 6x-1 \ge x+9 \\ x-a > 2x+1 \end{cases}$

1. 問題の内容

$a$ を定数とする。以下の(I)～(III)の連立不等式のうち、解が $x=2$ となるような $a$ の値が存在するものをすべて選び、そのときの $a$ の値を求めよ。

(I) $\begin{cases} 6x-1 \ge x+9 \\ x-a \le 2x+1 \end{cases}$

(II) $\begin{cases} 6x-1 \ge x+9 \\ x-a \ge 2x+1 \end{cases}$

(III) $\begin{cases} 6x-1 \ge x+9 \\ x-a > 2x+1 \end{cases}$

2. 解き方の手順

まず、それぞれの連立不等式について、1つ目の不等式を解く。

$6x-1 \ge x+9$

$5x \ge 10$

$x \ge 2$

次に、(I), (II), (III)の2つ目の不等式に $x=2$ を代入して $a$ の条件を求める。

(I)

$x-a \le 2x+1$ に $x=2$ を代入すると、

$2-a \le 4+1$

$-a \le 3$

$a \ge -3$

$x \ge 2$ と $a \ge -3$ のとき、$x=2$ が解になるような $a$ が存在するので、これは条件を満たす。

(II)

$x-a \ge 2x+1$ に $x=2$ を代入すると、

$2-a \ge 4+1$

$-a \ge 3$

$a \le -3$

$x \ge 2$ と $a \le -3$ のとき、$x=2$ が解になるような $a$ が存在するので、これは条件を満たす。

(III)

$x-a > 2x+1$ に $x=2$ を代入すると、

$2-a > 4+1$

$-a > 3$

$a < -3$

$x \ge 2$ と $a < -3$ のとき、$x=2$ が解になるような $a$ が存在するので、これは条件を満たす。

次に、解が $x=2$ となるように $a$ を求める。

(I)

$\begin{cases} x \ge 2 \\ x \le a+2x+1 \end{cases}$

$\begin{cases} x \ge 2 \\ x \ge -a-1 \end{cases}$

よって、$x=2$ であるためには、$-a-1 = 2$ であれば良い。

$-a = 3$

$a=-3$

(II)

$\begin{cases} x \ge 2 \\ x \ge a+2x+1 \end{cases}$

$\begin{cases} x \ge 2 \\ x \le -a-1 \end{cases}$

解が $x=2$ となるためには、$x=2$ となる必要があるので、 $-a-1=2$ となればよい。

$-a-1 = 2$

$-a=3$

$a=-3$

(III)

$\begin{cases} x \ge 2 \\ x > a+2x+1 \end{cases}$

$\begin{cases} x \ge 2 \\ x < -a-1 \end{cases}$

解が $x=2$ となるためには、$2 < -a-1$ となればよい。

$-a-1 > 2$

$-a > 3$

$a < -3$

(I): $a=-3$のとき、解は $x=2$ となる。

(II): $a=-3$のとき、解は $x=2$ となる。

(III): $a<-3$のとき、解は存在しない。なぜなら、$x=2$ は $x < -a-1$ を満たさないから。もし$x>2$なら解を持つ。よって、(III)は条件を満たさない。

(I)と(II)は条件を満たす。

3. 最終的な答え

(I) $a = -3$

(II) $a = -3$