$x = 2 - \sqrt{3}$ のとき、$x + \frac{1}{x}$ と $x^2 + \frac{1}{x^2}$ の値を求めます。

## 問題 15

1. 問題の内容

$x = 2 - \sqrt{3}$ のとき、$x + \frac{1}{x}$ と $x^2 + \frac{1}{x^2}$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$x + \frac{1}{x}$ の値を求めます。

$x = 2 - \sqrt{3}$ なので、

$\frac{1}{x} = \frac{1}{2 - \sqrt{3}}$

分母を有理化するために、分母と分子に $2 + \sqrt{3}$ をかけます。

$\frac{1}{x} = \frac{1}{2 - \sqrt{3}} \cdot \frac{2 + \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}} = \frac{2 + \sqrt{3}}{(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})} = \frac{2 + \sqrt{3}}{4 - 3} = 2 + \sqrt{3}$

したがって、

$x + \frac{1}{x} = (2 - \sqrt{3}) + (2 + \sqrt{3}) = 4$

次に、$x^2 + \frac{1}{x^2}$ の値を求めます。

$(x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$

$x^2 + \frac{1}{x^2} = (x + \frac{1}{x})^2 - 2$

$x + \frac{1}{x} = 4$ なので、

$x^2 + \frac{1}{x^2} = 4^2 - 2 = 16 - 2 = 14$

3. 最終的な答え

$x + \frac{1}{x} = 4$

$x^2 + \frac{1}{x^2} = 14$

## 問題 16 (1)

1. 問題の内容

$\sqrt{2} = 1.414$ とするとき、$\frac{5}{\sqrt{2}}$ の値を求めます。（分母の有理化を利用）

2. 解き方の手順

$\frac{5}{\sqrt{2}}$ の分母を有理化するために、分母と分子に $\sqrt{2}$ をかけます。

$\frac{5}{\sqrt{2}} = \frac{5}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{5\sqrt{2}}{2}$

$\sqrt{2} = 1.414$ を代入します。

$\frac{5\sqrt{2}}{2} = \frac{5 \cdot 1.414}{2} = \frac{7.07}{2} = 3.535$

3. 最終的な答え

3. 535

## 問題 16 (2)

1. 問題の内容

$\sqrt{3} = 1.732$ とするとき、$\frac{3}{\sqrt{12}}$ の値を求めます。（分母の有理化を利用）

2. 解き方の手順

$\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$ なので、

$\frac{3}{\sqrt{12}} = \frac{3}{2\sqrt{3}}$

分母を有理化するために、分母と分子に $\sqrt{3}$ をかけます。

$\frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sqrt{3} = 1.732$ を代入します。

$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1.732}{2} = 0.866$

3. 最終的な答え

4. 866

## 問題 16 (3)

1. 問題の内容

$\frac{1}{\sqrt{3} - \sqrt{2}}$ の値を求めます。（分母の有理化を利用）

2. 解き方の手順

分母を有理化するために、分母と分子に $\sqrt{3} + \sqrt{2}$ をかけます。

$\frac{1}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{(\sqrt{3} - \sqrt{2})(\sqrt{3} + \sqrt{2})} = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{3 - 2} = \sqrt{3} + \sqrt{2}$

$\sqrt{2} = 1.414$, $\sqrt{3} = 1.732$ を代入します。

$\sqrt{3} + \sqrt{2} = 1.732 + 1.414 = 3.146$

3. 最終的な答え

4. 146

## 問題 17 (1)

1. 問題の内容

$\frac{1}{\sqrt{5} - 2}$ の整数の部分 $a$ を求めます。

2. 解き方の手順

$\frac{1}{\sqrt{5} - 2}$ の分母を有理化するために、分母と分子に $\sqrt{5} + 2$ をかけます。

$\frac{1}{\sqrt{5} - 2} = \frac{1}{\sqrt{5} - 2} \cdot \frac{\sqrt{5} + 2}{\sqrt{5} + 2} = \frac{\sqrt{5} + 2}{5 - 4} = \sqrt{5} + 2$

$\sqrt{4} < \sqrt{5} < \sqrt{9}$ より $2 < \sqrt{5} < 3$

したがって、$4 < \sqrt{5} + 2 < 5$

$\sqrt{5} + 2$ の整数の部分 $a$ は 4 です。

3. 最終的な答え

a = 4

## 問題 17 (2)

1. 問題の内容

$\frac{1}{\sqrt{5} - 2}$ の小数の部分 $b$ を求めます。

2. 解き方の手順

$\frac{1}{\sqrt{5} - 2} = \sqrt{5} + 2$

$b = (\sqrt{5} + 2) - a = (\sqrt{5} + 2) - 4 = \sqrt{5} - 2$

3. 最終的な答え

b = $\sqrt{5} - 2$

## 問題 17 (3)

1. 問題の内容

$a + 2b + b^2$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

$a = 4$

$b = \sqrt{5} - 2$

$a + 2b + b^2 = 4 + 2(\sqrt{5} - 2) + (\sqrt{5} - 2)^2 = 4 + 2\sqrt{5} - 4 + (5 - 4\sqrt{5} + 4) = 2\sqrt{5} + 9 - 4\sqrt{5} = 9 - 2\sqrt{5}$

3. 最終的な答え

$9 - 2\sqrt{5}$