与えられた数列の和を求める問題です。数列の一般項は $(2k+1)(3k+1)$ であり、$k=1$ から $n$ までの和を計算します。つまり、以下の計算を行います。 $\sum_{k=1}^{n} (2k+1)(3k+1)$

1. 問題の内容

与えられた数列の和を求める問題です。数列の一般項は $(2k+1)(3k+1)$ であり、$k=1$ から $n$ までの和を計算します。つまり、以下の計算を行います。

$\sum_{k=1}^{n} (2k+1)(3k+1)$

2. 解き方の手順

まず、数列の一般項を展開します。

$(2k+1)(3k+1) = 6k^2 + 2k + 3k + 1 = 6k^2 + 5k + 1$

次に、和の公式 $\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$、$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$、$\sum_{k=1}^{n} 1 = n$ を利用して、$\sum_{k=1}^{n} (6k^2 + 5k + 1)$ を計算します。

$\sum_{k=1}^{n} (6k^2 + 5k + 1) = 6\sum_{k=1}^{n} k^2 + 5\sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 1$

$= 6 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 5 \cdot \frac{n(n+1)}{2} + n$

$= n(n+1)(2n+1) + \frac{5n(n+1)}{2} + n$

$= n \left[ (n+1)(2n+1) + \frac{5(n+1)}{2} + 1 \right]$

$= n \left[ 2n^2 + 3n + 1 + \frac{5n+5}{2} + 1 \right]$

$= n \left[ 2n^2 + 3n + 2 + \frac{5n+5}{2} \right]$

$= n \left[ \frac{4n^2 + 6n + 4 + 5n + 5}{2} \right]$

$= n \left[ \frac{4n^2 + 11n + 9}{2} \right]$

$= \frac{n(4n^2 + 11n + 9)}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{n(4n^2 + 11n + 9)}{2}$