## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

13 (1) $(\sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{5})(\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5})$ を計算せよ。

13 (2) (1)の結果を利用して、$\frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{5}}$ の分母を有理化せよ。

14 $x = \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1}$, $y = \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2} + 1}$ のとき、$x^2 + y^2$, $x^3y - xy^3$ の値を求めよ。

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2. 解き方の手順

### 13 (1)

$(\sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{5})(\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5})$を計算します。

$(\sqrt{2} + \sqrt{3})$ を $A$ と置くと、

$(A - \sqrt{5})(A + \sqrt{5})$となり、これは和と差の積なので、$A^2 - (\sqrt{5})^2$ となります。

$A^2 = (\sqrt{2} + \sqrt{3})^2 = (\sqrt{2})^2 + 2\sqrt{2}\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 2 + 2\sqrt{6} + 3 = 5 + 2\sqrt{6}$

よって、

$A^2 - (\sqrt{5})^2 = 5 + 2\sqrt{6} - 5 = 2\sqrt{6}$

### 13 (2)

$\frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{5}}$ の分母を有理化します。

まず、分母分子に$\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5}$をかけます。

$\frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5}}{(\sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{5})(\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5})} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5}}{2\sqrt{6}}$

次に、分母分子に$\sqrt{6}$をかけます。

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5}}{2\sqrt{6}} = \frac{(\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5})\sqrt{6}}{2\sqrt{6}\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{12} + \sqrt{18} + \sqrt{30}}{12} = \frac{2\sqrt{3} + 3\sqrt{2} + \sqrt{30}}{12}$

### 14

$x = \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1}$, $y = \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2} + 1}$ のとき、$x^2 + y^2$, $x^3y - xy^3$ の値を求めます。

まず、$x$と$y$の分母を有理化します。

$x = \frac{(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} + 1)}{(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1)} = \frac{2 + 2\sqrt{2} + 1}{2 - 1} = 3 + 2\sqrt{2}$

$y = \frac{(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} - 1)}{(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1)} = \frac{2 - 2\sqrt{2} + 1}{2 - 1} = 3 - 2\sqrt{2}$

$x + y = 6$

$xy = (3 + 2\sqrt{2})(3 - 2\sqrt{2}) = 9 - 8 = 1$

$x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy = 6^2 - 2(1) = 36 - 2 = 34$

$x^3y - xy^3 = xy(x^2 - y^2) = xy(x + y)(x - y) = 1(6)(3 + 2\sqrt{2} - (3 - 2\sqrt{2})) = 6(4\sqrt{2}) = 24\sqrt{2}$

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3. 最終的な答え

13 (1) $2\sqrt{6}$

13 (2) $\frac{2\sqrt{3} + 3\sqrt{2} + \sqrt{30}}{12}$

14 $x^2 + y^2 = 34$, $x^3y - xy^3 = 24\sqrt{2}$