関数 $y = x^2 - 2x - 3$ の $-2 \le x \le 3$ における最大値と最小値を求めよ。関数は $y = (x-1)^2 - 4$ と変形できる。

1. 問題の内容

関数 $y = x^2 - 2x - 3$ の $-2 \le x \le 3$ における最大値と最小値を求めよ。関数は $y = (x-1)^2 - 4$ と変形できる。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を平方完成した形 $y = (x-1)^2 - 4$ から、この関数の頂点の座標が $(1, -4)$ であることがわかります。

次に、定義域 $-2 \le x \le 3$ における関数の振る舞いを考えます。頂点の $x$ 座標 $x=1$ は定義域に含まれています。

$x = 1$ のとき、$y = -4$ となり、これが最小値の候補です。

次に、定義域の端の点における関数の値を計算します。

$x = -2$ のとき、

$y = (-2)^2 - 2(-2) - 3 = 4 + 4 - 3 = 5$

$x = 3$ のとき、

$y = (3)^2 - 2(3) - 3 = 9 - 6 - 3 = 0$

したがって、定義域の端の点における $y$ の値は $5$ と $0$ です。

頂点の $y$ 座標 $-4$ と、定義域の端の点における $y$ の値 $5$ と $0$ を比較すると、最大値は $5$、最小値は $-4$ となります。

3. 最終的な答え

最大値：5 ($x = -2$のとき)

最小値：-4 ($x = 1$のとき)